Dois meninos estão deslizando um em direção ao outro em um estacionamento coberto de gelo sem atrito. Jacob, de massa
, está deslizando para a direita a 8,00
, e Ethan, de massa
, para a esquerda a
ao longo da mesma linha. Quando eles se encontram, agarram–se um ao outro. Foi tão divertido, que os meninos repetiram a colisão com as mesmas velocidades iniciais, desta vez movendo-se ao longo de linhas paralelas afastadas
. Na maior aproximação, eles travam os braços e começam a girar em torno de seu centro de massa comum. Considere os meninos como partículas e seus braços como um cabo que não estica. Que fração da energia cinética deles ainda é energia mecânica depois que seus braços se unem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois meninos deslizando em um estacionamento de gelo sem atrito. O Jacob tem massa de 45 kg e está indo para a direita a 8 m/s. Já o Ethan tem massa de 31 kg e está indo para a esquerda a 11 m/s. Quando eles se encontram, eles se agarram e continuam se movendo. Depois, como foi tão divertido, eles repetem a colisão, mas agora com as trajetórias paralelas afastadas 1,20 m e começam a girar juntos. A gente quer saber qual fração da energia cinética inicial ainda é energia mecânica depois que eles travam os braços e começam a girar.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de conservação da quantidade de movimento linear e angular, além de energia cinética. Vamos passo a passo para não complicar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a quantidade de movimento (momento linear) antes da colisão. A quantidade de movimento é dada por:
Para o Jacob:
Para o Ethan:
Como ele vai para a esquerda, consideramos a velocidade negativa:
Como ele vai para a esquerda, consideramos a velocidade negativa:
Passo 3
Agora, somamos as quantidades de movimento para encontrar a quantidade de movimento total antes da colisão:
Isso significa que, após a colisão, os meninos unidos terão uma quantidade de movimento total de 19 kg·m/s.
Passo 4
Vamos calcular a velocidade resultante após a colisão usando a conservação da quantidade de movimento. A massa total é a soma das massas:
A velocidade após a colisão é:
Então, após a colisão, os meninos se movem juntos a 0,25 m/s.
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia cinética inicial de cada um antes da colisão e a energia cinética total inicial.
Para o Jacob:
Para o Ethan:
Energia cinética total inicial:
Passo 6
Após a colisão, os meninos estão se movendo juntos com velocidade de 0,25 m/s. Vamos calcular a energia cinética dessa movimentação conjunta:
Essa é a energia cinética da movimentação linear após a colisão.
Passo 7
Agora, na segunda colisão, eles começam a girar em torno do centro de massa. Vamos calcular a energia cinética de rotação. Primeiro, precisamos encontrar o momento de inércia combinado.
Como os meninos são considerados partículas e estão separados por 1,20 m, o momento de inércia (I) é:
Onde r é a distância de cada menino ao centro de massa. Para encontrar r:
Então,
Passo 8
A energia cinética total após a segunda colisão será a soma da energia cinética linear e da energia cinética rotacional:
Para encontrar a energia rotacional, precisamos da velocidade angular (ω). A relação entre a velocidade linear (v) e a angular é:
Mas como eles estão girando em torno do centro de massa, a velocidade linear já é 0,25 m/s. Então,
Onde R é a distância ao centro de massa. Considerando uma média, podemos usar os valores individuais para calcular.
Contudo, para simplificar, vamos assumir que toda a energia cinética adicional após a segunda colisão é energia rotacional.
Passo 9
A energia mecânica restante após os braços se unirem é a energia cinética rotacional:
Sem perda adicional, a energia mecânica é a energia cinética rotacional, já que a energia linear após a segunda colisão é mínima.
Passo 10
Para encontrar a fração da energia inicial que permanece como energia mecânica:
Assumindo que a maior parte da energia foi convertida em rotação, a fração permanece baixa, já que a energia linear após a colisão é pequena.
Resposta
Após os meninos se unirem e começarem a girar, aproximadamente 0,07% da energia cinética inicial ainda é energia mecânica.