Quais das duas expressões a seguir para o módulo p da quantidade de movimento linear pode ser usada quando a velocidade v de um ob-
jeto de massa m for muito pequena em comparação com a velocidade de propagação da luz c no vácuo?
A. p=m v
B. p=\frac{m v}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}
(a) Somente A
(b) Somente B
(c) Nem A ou B
(d) Tanto A quanto B

Passo 1

O enunciado apresenta duas fórmulas para o módulo p da quantidade de movimento linear de um objeto de massa m que se move com velocidade v:
A. \;p = m\,v
B. \;p = \dfrac{m\,v}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}
Pede-se qual(is) delas podem ser usadas quando v é muito pequena em comparação com a velocidade da luz c. O conteúdo envolve dinâmica newtoniana (momento linear clássico) e relativística.

Passo 2

A fórmula clássica \;p = m\,v vem da mecânica newtoniana, que pressupõe velocidades muito menores que c. Em particular, ela é válida quando v \ll c
pois nesse regime as correções relativísticas são desprezíveis. Logo, para v\ll c, podemos usar com segurança
p = m\,v.

Passo 3

A fórmula relativística
p = \frac{m\,v}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}
é geral e válida para qualquer v<c. Além disso, ao fazermos a expansão em série de Taylor para v\ll c, temos
\frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \approx 1 + \frac12\frac{v^2}{c^2} + \cdots
e portanto
p \approx m\,v\Bigl(1 + \tfrac12\frac{v^2}{c^2}+\cdots\Bigr) \approx m\,v \quad\text{quando }v\ll c.
Isto mostra que a expressão relativística reduz-se à forma clássica no limite v\ll c, mas continua sendo uma fórmula correta.

Passo 4

Como a expressão clássica é válida em v\ll c e a expressão relativística é sempre válida (inclusive nesse regime), ambas podem ser usadas quando a velocidade for muito pequena em comparação com c.

Resposta

(d) Tanto A quanto B

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