Duas lâmpadas têm filamentos cilíndricos muito maiores em comprimento que em diâmetro. As lâmpadas evacuadas são idênticas, exceto que uma opera com temperatura de filamento de e a outra a . (a) Encontre a proporção da potência emitida pela lâmpada mais quente para aquela emitida pela mais fria.

Passo 1

Então, a gente tem duas lâmpadas com filamentos bem compridos e finos. A diferença entre elas é a temperatura dos filamentos: uma está a e a outra a . A gente quer descobrir qual é a relação da potência emitida pela lâmpada mais quente em relação à mais fria. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Stefan-Boltzmann, que ajuda a calcular a potência emitida por objetos que irradiam energia.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Lei de Stefan-Boltzmann. Ela diz que a potência total emitida por uma superfície é proporcional à quarta potência da sua temperatura absoluta. A fórmula é:
Onde:
  • é a potência emitida,
  • é a constante de Stefan-Boltzmann ( ),
  • é a área da superfície emissora,
  • é a temperatura absoluta (em Kelvin).

Passo 3

Como as lâmpadas têm filamentos cilíndricos muito longos em relação ao diâmetro, a área superficial de cada filamento pode ser calculada como:
Mas como os filamentos são idênticos, o raio e o comprimento são os mesmos para ambas as lâmpadas. Portanto, quando formamos a proporção das potências, a área cancela.

Passo 4

Vamos chamar:
  • = potência da lâmpada a ,
  • = potência da lâmpada a ,
  • = temperatura da lâmpada mais quente,
  • = temperatura da lâmpada mais fria.
Convertendo as temperaturas para Kelvin:

Passo 5

Agora, usando a Lei de Stefan-Boltzmann para cada lâmpada:
Queremos a proporção :

Passo 6

Agora, substituindo os valores das temperaturas:
Vamos calcular isso:
Agora, elevando ao quarto poder:

Resposta

A potência emitida pela lâmpada mais quente é aproximadamente vezes a potência emitida pela lâmpada mais fria.

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