Duas lâmpadas têm filamentos cilíndricos muito maiores em comprimento que em diâmetro. As lâmpadas evacuadas são idênticas, exceto que uma opera com temperatura de filamento de
e a outra a
. (a) Encontre a proporção da potência emitida pela lâmpada mais quente para aquela emitida pela mais fria.
Passo 1
Então, a gente tem duas lâmpadas com filamentos bem compridos e finos. A diferença entre elas é a temperatura dos filamentos: uma está a
e a outra a
. A gente quer descobrir qual é a relação da potência emitida pela lâmpada mais quente em relação à mais fria. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Stefan-Boltzmann, que ajuda a calcular a potência emitida por objetos que irradiam energia.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Lei de Stefan-Boltzmann. Ela diz que a potência total emitida por uma superfície é proporcional à quarta potência da sua temperatura absoluta. A fórmula é:
Onde:
-
é a potência emitida, -
é a constante de Stefan-Boltzmann ( ), -
é a área da superfície emissora, -
é a temperatura absoluta (em Kelvin).
Passo 3
Como as lâmpadas têm filamentos cilíndricos muito longos em relação ao diâmetro, a área superficial de cada filamento pode ser calculada como:
Mas como os filamentos são idênticos, o raio
e o comprimento
são os mesmos para ambas as lâmpadas. Portanto, quando formamos a proporção das potências, a área cancela.
Passo 4
Vamos chamar:
-
= potência da lâmpada a , -
= potência da lâmpada a , -
= temperatura da lâmpada mais quente, -
= temperatura da lâmpada mais fria.
Convertendo as temperaturas para Kelvin:
Passo 5
Agora, usando a Lei de Stefan-Boltzmann para cada lâmpada:
Queremos a proporção
:
Passo 6
Agora, substituindo os valores das temperaturas:
Vamos calcular isso:
Agora, elevando ao quarto poder:
Resposta
A potência emitida pela lâmpada mais quente é aproximadamente
vezes a potência emitida pela lâmpada mais fria.