S Para encontrar o deslocamento angular total durante o tempo de gravação do Compact Disc na parte (B) do Exemplo 10.2, o disco foi modelado como um corpo rígido sob aceleração angular constante. Na realidade, a aceleração angular do disco não é constante. Neste problema, vamos explorar a dependência da aceleração angular em relação ao tempo. (d) A partir do resultado na parte ©, use a diferenciação para encontrar a aceleração angular do disco como uma função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de dinâmica rotacional, onde queremos achar a aceleração angular do disco em função do tempo. Para isso, vamos precisar usar diferenciação, que é uma ferramenta matemática para encontrar a taxa de variação de uma quantidade.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que a aceleração angular (
) é a derivada da velocidade angular (
) em relação ao tempo (
). Ou seja:
Passo 3
Já que na parte © do exercício a gente encontrou a expressão para a velocidade angular
, vamos usar essa expressão aqui. Suponhamos que a velocidade angular seja uma função do tempo dada por:
onde
e
são constantes que foram encontradas na parte anterior.
Passo 4
Agora, vamos diferenciar
em relação ao tempo para encontrar
:
Passo 5
Calculando a derivada, temos:
Isso significa que a aceleração angular é constante e igual a
.
Passo 6
Mas, como o enunciado diz que na realidade a aceleração angular não é constante, isso sugere que na parte © a expressão para
deve ser mais complexa, talvez uma função que dependa de
de maneira não linear. Por exemplo:
Então, diferenciando essa função:
Resposta
A aceleração angular do disco em função do tempo é dada por: