(b) A energia cinética rotacional da Terra diminui regularmente por causa do atrito da maré. Supondo que o período rotacional diminui em a cada ano, encontre a variação em um dia.

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre a energia cinética rotacional da Terra que está diminuindo por causa do atrito das marés. A gente sabe que o período de rotação da Terra está diminuindo 10,0 microsegundos por ano. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto essa diminuição afeta a energia cinética rotacional em um dia.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular a energia cinética rotacional. A fórmula é:
Onde:
  • é a energia cinética rotacional,
  • é o momento de inércia da Terra,
  • é a velocidade angular.

Passo 3

Agora, vamos relacionar o período de rotação ( ) com a velocidade angular ( ). A relação é:
Isso significa que, se o período de rotação diminui, a velocidade angular aumenta.

Passo 4

A questão nos dá que o período de rotação diminui 10,0 microsegundos por ano. Primeiro, vamos converter isso para segundos:

Passo 5

Sabemos que um ano tem 365 dias. Então, a variação do período por dia ( ) é:

Passo 6

Vamos calcular a variação na velocidade angular ( ) usando a relação entre e . Tomando a derivada:
Então:

Passo 7

Sabemos que o período de rotação atual da Terra é aproximadamente 86400 segundos (24 horas). Substituindo:
Calculando isso, teremos a variação da velocidade angular por dia.

Passo 8

Agora, vamos calcular a variação na energia cinética rotacional ( ) usando a fórmula:
Aqui, é o momento de inércia da Terra, que para uma esfera sólida é aproximadamente .

Passo 9

Substituindo os valores calculados:
Onde .

Passo 10

Após realizar os cálculos, encontramos que a variação na energia cinética rotacional da Terra em um dia devido à diminuição do período de rotação é aproximadamente:

Resposta

A variação na energia cinética rotacional da Terra em um dia é aproximadamente −1,73 × 10¹² joules.

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