(b) A energia cinética rotacional da Terra diminui regularmente por causa do atrito da maré. Supondo que o período rotacional diminui em
a cada ano, encontre a variação em um dia.
Passo 1
Vamos lá! A questão fala sobre a energia cinética rotacional da Terra que está diminuindo por causa do atrito das marés. A gente sabe que o período de rotação da Terra está diminuindo 10,0 microsegundos por ano. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto essa diminuição afeta a energia cinética rotacional em um dia.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular a energia cinética rotacional. A fórmula é:
Onde:
-
é a energia cinética rotacional, -
é o momento de inércia da Terra, -
é a velocidade angular.
Passo 3
Agora, vamos relacionar o período de rotação (
) com a velocidade angular (
). A relação é:
Isso significa que, se o período de rotação diminui, a velocidade angular aumenta.
Passo 4
A questão nos dá que o período de rotação diminui 10,0 microsegundos por ano. Primeiro, vamos converter isso para segundos:
Passo 5
Sabemos que um ano tem 365 dias. Então, a variação do período por dia (
) é:
Passo 6
Vamos calcular a variação na velocidade angular (
) usando a relação entre
e
. Tomando a derivada:
Então:
Passo 7
Sabemos que o período de rotação atual da Terra é aproximadamente 86400 segundos (24 horas). Substituindo:
Calculando isso, teremos a variação da velocidade angular por dia.
Passo 8
Agora, vamos calcular a variação na energia cinética rotacional (
) usando a fórmula:
Aqui,
é o momento de inércia da Terra, que para uma esfera sólida é aproximadamente
.
Passo 9
Substituindo os valores calculados:
Onde
.
Passo 10
Após realizar os cálculos, encontramos que a variação na energia cinética rotacional da Terra em um dia devido à diminuição do período de rotação é aproximadamente:
Resposta
A variação na energia cinética rotacional da Terra em um dia é aproximadamente −1,73 × 10¹² joules.