Uma bicicleta é virada de cabeça para baixo para que seu dono repare um pneu furado na roda traseira. Uma amiga gira a roda dianteira, de raio
, e observa que gotas de água se desprendem tangencialmente em uma direção para cima quando as gotas estão no mesmo nível que o centro da roda. Ela mede a altura atingida pelas gotas que se movem verticalmente (Fig. P10.68). Uma gota que se solta do pneu em uma volta sobe
acima do ponto de tangência. Uma gota que escapa na próxima volta sobe a uma altura
acima do ponto de tangência. A altura até a qual a gota sobe diminui porque a velocidade angular da roda decresce. A partir dessas informações, determine o módulo da aceleração angular média da roda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma bicicleta virada de cabeça para baixo e uma roda dianteira girando. Quando a roda gira, gotas de água se soltam e sobem até certas alturas. A gente precisa descobrir a aceleração angular média dessa roda, que está diminuindo o tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional e a relação entre velocidade linear e angular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a velocidade angular afeta a velocidade com que a gota é lançada. Quando a roda gira, a velocidade tangencial
da gota no ponto de soltura está relacionada à velocidade angular
pela fórmula:
Aqui,
é o raio da roda.
Passo 3
A gota de água, ao se soltar, tem uma velocidade inicial vertical
que vai fazer ela subir contra a gravidade. A altura máxima
que a gota atinge pode ser encontrada usando a equação da energia ou das cinemáticas:
Onde
é a aceleração da gravidade (aproximadamente
).
Passo 4
Sabemos que na primeira volta a gota sobe até
e na segunda volta até
. Isso significa que a velocidade inicial na primeira volta é maior que na segunda. Vamos relacionar essas alturas com as velocidades correspondentes:
Passo 5
A diferença entre as velocidades nas duas voltas está relacionada à aceleração angular média
. Sabemos que a velocidade angular diminui com o tempo devido à aceleração angular. Podemos escrever:
Como a velocidade diminui,
será negativa. Mas para encontrar o módulo, vamos considerar apenas o valor positivo.
Passo 6
Relacionando as alturas com as velocidades angulares:
Podemos dividir as duas equações para eliminar
e
:
Passo 7
Resolvendo para
:
Passo 8
Sabemos que a aceleração angular média
está relacionada à variação da velocidade angular:
Mas precisamos de mais informaç��es sobre o tempo ou as voltas para avançar. Supondo que o intervalo de tempo entre as duas voltas seja
(tempo para uma volta), e sabendo que uma volta completa tem relação com a velocidade angular média:
Onde
é a velocidade angular média entre
e
.
Passo 9
Como não temos valores numéricos específicos, a resposta final fica em termos de
,
,
, e
:
Usando as relações anteriores, podemos expressar
como:
Resposta
A aceleração angular média da roda é dada por:
Onde
e
é o tempo para uma volta.