Uma escada reta está encostada contra a parede de uma casa. A escada tem corrimão de
de comprimento, conectada por degraus de
de comprimento. Sua base inferior está em solo sólido e inclinado de modo que o topo da escada está
para a esquerda de onde deveria estar e, por isso, não é seguro subir nela. Você quer colocar uma pedra plana embaixo de um pé da escada para compensar a inclinaçāo do solo. (a) Qual deveria ser a espessura da pedra?
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado fala sobre uma escada de
que está inclinada de forma insegura porque o topo está
para a esquerda do lugar certo. Precisamos descobrir a espessura da pedra que vai colocar na base da escada para corrigir essa inclinação. Para isso, vamos usar um pouco de geometria e trigonometria, basicamente o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine a escada como a hipotenusa de um triângulo retângulo, onde a altura em relação à parede é um cateto, e a distância da base até a parede é o outro cateto. A escada está curvada para a esquerda, então precisamos ajustar a base para a direita usando uma pedra.
Passo 3
Vamos chamar a espessura da pedra de
. Quando colocamos a pedra, a base da escada vai subir
metros, o que vai fazer a escada ficar mais vertical. Isso vai mudar a distância horizontal da base até a parede.
Passo 4
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos que:
Onde:
-
é o comprimento da escada. -
é a altura original da escada na parede. -
é a distância original da base até a parede. -
é a espessura da pedra que queremos encontrar.
Passo 5
Como a escada está inicialmente inclinada de forma insegura, podemos considerar que sem a pedra, a distância horizontal é menor. Ao adicionar
, queremos que a nova configuração seja segura e alinhada corretamente. Isso significa que a nova distância horizontal deve corresponder ao equilíbrio.
Passo 6
Resolvendo a equação para
, isolamos:
Mas como não temos valores específicos para
e
, podemos simplificar considerando que a mudança na distância horizontal está diretamente relacionada à espessura da pedra.
Passo 7
Para uma pequena inclinação, podemos aproximar que a espessura
é igual à diferença horizontal dividida pelo ângulo de inclinação. Porém, sem o ângulo, podemos usar a relação direta entre as diferenças.
Resposta
A espessura da pedra deve ser de aproximadamente
.