Em um experimento de espalhamento de Rutherford, um núcleo alvo tem um diâmetro igual a 1,4 \times 10^{-14} \mathrm{~m}. A partícula \alpha incidente tem uma massa de 6,64 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}. Qual a energia cinética de uma partícula \alpha que tem um comprimento de onda de De Broglie igual ao diâmetro do núcleo-alvo? Ignore efeitos relativísticos.

Passo 1

O enunciado diz que queremos uma partícula α de massa m=6,64\times10^{-27}\,\mathrm{kg} cuja comprimento de onda de De Broglie \lambda seja igual ao diâmetro do núcleo-alvo, isto é \lambda=1,4\times10^{-14}\,\mathrm{m}. Vamos usar a relação de De Broglie e a fórmula da energia cinética não‐relativística para encontrar K.

Passo 2

A relação de De Broglie nos dá o momento linear p em função de \lambda:
p = \frac{h}{\lambda},
onde h=6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s} é a constante de Planck.

Passo 3

Em mecânica clássica não-relativística, a energia cinética K de uma partícula de massa m e momento p é
K = \frac{p^2}{2m}.
Substituindo p = h/\lambda obtemos
K = \frac{1}{2m}\,\biggl(\frac{h}{\lambda}\biggr)^{2} = \frac{h^2}{2\,m\,\lambda^2}.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos:
h^2 = (6{,}626\times10^{-34})^2 \approx 4{,}39\times10^{-67}\,\mathrm{J^2\,s^2},
2\,m\,\lambda^2 = 2 \times (6{,}64\times10^{-27}) \times (1{,}4\times10^{-14})^2 \approx 2{,}60\times10^{-54}\,\mathrm{kg\,m^2}.
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K = \frac{4{,}39\times10^{-67}}{2{,}60\times10^{-54}} \approx 1{,}69\times10^{-13}\,\mathrm{J}.

Passo 5

Para converter de joule para elétron‐volt usamos 1\,\mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{J}. Assim,
K = \frac{1{,}69\times10^{-13}}{1{,}602\times10^{-19}} \approx 1{,}05\times10^{6}\,\mathrm{eV} = 1{,}05\,\mathrm{MeV}.

Resposta

A energia cinética da partícula α é aproximadamente 1{,}05\,\mathrm{MeV}.

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