E 6.3. Expresse as componentes da velocidade de uma partícula em relação ao referencial I em termos das componentes da velocidade em relação ao referencial I^prime que se move em relação a I com velocidade u na direção x.

Passo 1

O enunciado trata da transformação de Galileu para velocidades: temos dois referenciais I e I', onde I' se move em relação a I com velocidade constante u ao longo do eixo x. Queremos expressar as componentes da velocidade de uma partícula em I em função das componentes medidas em I'.

Passo 2

Chamemos (x,y,z,t) as coordenadas da partícula em I e (x',y',z',t') as coordenadas em I'. Pela hipótese de Galileu, as transformações espaciais e temporal são
x = x' + u,t, y = y', z = z', t = t'

Passo 3

Derivando x = x' + u,t em relação ao tempo t (que é o mesmo em ambos os referenciais), obtemos
dxdt = dx'dt + u
ou seja, para as componentes x da velocidade,
vx = vx' + u,
onde definimos vx = dx/dt e vx' = dx'/dt.

Passo 4

Como y = y' e z = z', ao derivarmos em relação a t temos imediatamente
vy = dydt = dy'dt = vy', vz = dzdt = dz'dt = vz'

Resposta

vx = vx' + u, vy = vy', vz = vz'

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