15.6 Um fio muito longo é percorrido por uma corrente i. Próximo a ele existe uma espira circular de raio
, percorrida por uma corrente
, cujo centro situa-se a uma distância
do fio, de modo que
. A espira e o fio pertencem ao mesmo plano. Calcule a força e o torque que agem sobre a espira, tanto de forma exata como aproximada.
Passo 1
O enunciado descreve um fio retilíneo infinito, percorrido pela corrente
, e uma espira circular de raio
que jaz no mesmo plano do fio, com centro a uma distância
desse fio (
). A espira carrega corrente
. Precisamos usar a lei de Biot–Savart (ou a forma já conhecida do campo de um fio infinito) para achar o campo magnético
produzido pelo fio em cada ponto da espira, depois aplicar
para obter a força diferencial sobre cada elemento de corrente, integrar para achar a força total e, a seguir, calcular o torque
.
Passo 2
Parametrizamos a espira no plano
, com centro em
.
Cada ponto da espira tem coordenadas
Cada ponto da espira tem coordenadas
e o elemento de comprimento é
O campo do fio, de corrente
ao longo do eixo
, em distância radial
aponta na direção
(para
), valendo
Passo 3
O elemento de força é
Usando
e
, obtém-se
Passo 4
Para achar a força total, integra-se
de
a
. O componente em
anula-se por simetria (
integrado sobre
é zero). Restará apenas o componente em
:
Usando a integral padrão
vem
Logo
Isso é a expressão exata. O sinal “
” indica que a força é dirigida para o fio (eixo
).
Passo 5
O torque em relação ao centro da espira é
, onde
.
Fazendo a conta, vê-se que o torque resultante em cada se anula quando se integra de
a
. Portanto
Fazendo a conta, vê-se que o torque resultante em cada
Passo 6
Para a forma aproximada, assuma
. Expanda
.
Então
Então
ou seja,
atração fraca em direção ao fio.
Para o torque, no limite o campo varia pouco sobre a espira, podemos usar
,
onde e
.
Como , na verdade o torque aproximado também cai a zero a primeira ordem!)
Para o torque, no limite
onde
Como
Resposta
Expressões exatas:
Formas aproximadas (
):