15.6 Um fio muito longo é percorrido por uma corrente i. Próximo a ele existe uma espira circular de raio R, percorrida por uma corrente \mathfrak{i}_{e}, cujo centro situa-se a uma distância d do fio, de modo que d>R. A espira e o fio pertencem ao mesmo plano. Calcule a força e o torque que agem sobre a espira, tanto de forma exata como aproximada.

Passo 1

O enunciado descreve um fio retilíneo infinito, percorrido pela corrente i, e uma espira circular de raio R que jaz no mesmo plano do fio, com centro a uma distância d desse fio ( d>R). A espira carrega corrente \mathfrak{i}_{e}. Precisamos usar a lei de Biot–Savart (ou a forma já conhecida do campo de um fio infinito) para achar o campo magnético \mathbf{B} produzido pelo fio em cada ponto da espira, depois aplicar \mathrm{d}\mathbf{F}=\mathfrak{i}_{e}\,\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{B} para obter a força diferencial sobre cada elemento de corrente, integrar para achar a força total e, a seguir, calcular o torque \boldsymbol{\tau}=\int\mathbf{r}\times\mathrm{d}\mathbf{F}.

Passo 2

Parametrizamos a espira no plano x z, com centro em (d,0,0).
Cada ponto da espira tem coordenadas
x(\varphi)=d+R\cos\varphi,\quad y(\varphi)=0,\quad z(\varphi)=R\sin\varphi,
e o elemento de comprimento é
\mathrm{d}\boldsymbol{\ell} =\bigl(-R\sin\varphi\,\hat{\mathbf{x}}+R\cos\varphi\,\hat{\mathbf{z}}\bigr)\,\mathrm{d}\varphi.
O campo do fio, de corrente i ao longo do eixo z, em distância radial \rho=x(\varphi) aponta na direção \hat{\boldsymbol\varphi}=\hat{\mathbf{y}} (para x>0), valendo
\mathbf{B} =\frac{\mu_{0}\,i}{2\pi\,\rho}\,\hat{\mathbf{y}} =\frac{\mu_{0}\,i}{2\pi\,(d+R\cos\varphi)}\,\hat{\mathbf{y}}.

Passo 3

O elemento de força é
\mathrm{d}\mathbf{F} =\mathfrak{i}_{e}\,\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{B} =\mathfrak{i}_{e} \bigl(-R\sin\varphi\,\hat{\mathbf{x}}+R\cos\varphi\,\hat{\mathbf{z}}\bigr)\times \frac{\mu_{0}\,i}{2\pi\,(d+R\cos\varphi)}\,\hat{\mathbf{y}}\,\mathrm{d}\varphi.
Usando \hat{\mathbf{x}}\times\hat{\mathbf{y}}=\hat{\mathbf{z}} e \hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{y}}=-\hat{\mathbf{x}}, obtém-se
\mathrm{d}\mathbf{F} =-\frac{\mu_{0}\,i\,\mathfrak{i}_{e}\,R}{2\pi\,(d+R\cos\varphi)} \bigl(\cos\varphi\,\hat{\mathbf{x}}+\sin\varphi\,\hat{\mathbf{z}}\bigr)\,\mathrm{d}\varphi.

Passo 4

Para achar a força total, integra-se \mathrm{d}\mathbf{F} de \varphi=0 a 2\pi. O componente em \hat{\mathbf{z}} anula-se por simetria ( \sin\varphi integrado sobre 0\to2\pi é zero). Restará apenas o componente em \hat{\mathbf{x}}:
F_{x} =-\frac{\mu_{0}\,i\,\mathfrak{i}_{e}\,R}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}\frac{\cos\varphi}{\,d+R\cos\varphi\,}\,\mathrm{d}\varphi.
Usando a integral padrão
\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos\varphi}{a+b\cos\varphi}\,\mathrm{d}\varphi =\frac{2\pi}{b}\Bigl(1-\frac{a}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}\Bigr), \quad a>d>R,\;b=R,
vem
\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos\varphi}{\,d+R\cos\varphi\,}\,\mathrm{d}\varphi =\frac{2\pi}{R}\Bigl(1-\frac{d}{\sqrt{d^{2}-R^{2}}}\Bigr).
Logo
F_{x} =-\mu_{0}\,i\,\mathfrak{i}_{e} \Bigl(1-\frac{d}{\sqrt{d^{2}-R^{2}}}\Bigr), \quad F_{z}=0.
Isso é a expressão exata. O sinal “ -” indica que a força é dirigida para o fio (eixo -\hat{\mathbf{x}}).

Passo 5

O torque em relação ao centro da espira é
\boldsymbol{\tau}=\displaystyle\int\mathbf{r}\times\mathrm{d}\mathbf{F}, onde
\mathbf{r}=(R\cos\varphi\,\hat{\mathbf{x}}+R\sin\varphi\,\hat{\mathbf{z}}).
Fazendo a conta, vê-se que o torque resultante em cada \varphi se anula quando se integra de 0 a 2\pi. Portanto
\boldsymbol{\tau}_{\text{exato}}=0.

Passo 6

Para a forma aproximada, assuma R\ll d. Expanda
\displaystyle\frac{d}{\sqrt{d^{2}-R^{2}}} =d\bigl[d\,\sqrt{1-(R/d)^{2}}\bigr]^{-1} \approx1+\frac{R^{2}}{2d^{2}}.
Então
F_{x}\approx -\mu_{0}i\,\mathfrak{i}_{e} \Bigl(1-\Bigl(1+\frac{R^{2}}{2d^{2}}\Bigr)\Bigr) =-\mu_{0}i\,\mathfrak{i}_{e}\,\frac{R^{2}}{2d^{2}},
ou seja,
\mathbf{F}_{\text{aprox}} =-\frac{\mu_{0}\,i\,\mathfrak{i}_{e}\,R^{2}}{2\,d^{2}}\;\hat{\mathbf{x}},
atração fraca em direção ao fio.
Para o torque, no limite d\gg R o campo varia pouco sobre a espira, podemos usar
\boldsymbol{\tau}\approx\mathbf{m}\times\mathbf{B}_{\text{centro}},
onde \mathbf{m}=\mathfrak{i}_{e}\,\pi R^{2}\,\hat{\mathbf{y}} e
\mathbf{B}_{\text{centro}}=\tfrac{\mu_{0}i}{2\pi d}\,\hat{\mathbf{y}}.
Como \hat{\mathbf{y}}\times\hat{\mathbf{y}}=0, na verdade o torque aproximado também cai a zero a primeira ordem!)

Resposta

Expressões exatas:
\mathbf{F} =-\mu_{0}\,i\,\mathfrak{i}_{e} \Bigl(1-\frac{d}{\sqrt{d^{2}-R^{2}}}\Bigr)\,\hat{\mathbf{x}}, \qquad \boldsymbol{\tau}=0.
Formas aproximadas ( R\ll d):
\mathbf{F}_{\rm aprox} =-\frac{\mu_{0}\,i\,\mathfrak{i}_{e}\,R^{2}}{2\,d^{2}}\;\hat{\mathbf{x}}, \qquad \boldsymbol{\tau}_{\rm aprox}\approx0.

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