Uma força dependente do tempo, , onde está dada em newtons e em segundos, é exercida sobre um corpo de inicialmente em repouso. © Qual será o deslocamento total do corpo neste momento?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma força que depende do tempo, dada por newtons, atuando sobre um corpo de 2,00 kg que está inicialmente parado. A gente precisa descobrir qual é o deslocamento total desse corpo naquele momento específico. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Segunda Lei de Newton, aceleração, velocidade e deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Segunda Lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração:
Onde:
  • é a força aplicada,
  • é a massa do corpo,
  • é a aceleração.
Como a força depende do tempo, a aceleração também vai depender. Vamos encontrar a aceleração em cada direção.

Passo 3

Vamos separar a força nas direções (horizontal) e (vertical):
Agora, aplicamos a Segunda Lei de Newton para cada componente:
Então, temos a aceleração em função do tempo:

Passo 4

Agora que temos a aceleração, vamos encontrar a velocidade integrando a aceleração em relação ao tempo. Lembrando que a velocidade inicial é zero, já que o corpo estava inicialmente em repouso.
Para a componente :
Como , a constante . Então:
Para a componente :
Como , a constante . Então:
Portanto, a velocidade em função do tempo é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o deslocamento integrando a velocidade em relação ao tempo. A condição inicial é que o deslocamento é zero quando .
Para a componente :
Como , a constante . Então:
Para a componente :
Como , a constante . Então:
Portanto, o deslocamento em função do tempo é:

Resposta

O deslocamento total do corpo no momento considerado é:

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