Em grandes jogos da liga de beisebol, é comum aparecer a velocidade de cada arremesso no placar. Esta velocidade é determinada por uma pistola de radar apontada por um operador posicionado atrás da placa do rebatedor. A pistola usa o Efeito Doppler de micro-ondas refletidas da bola de beisebol. A pistola determina a velocidade em algum ponto específico na trajetória da bola de beisebol, dependendo de quando o operador puxa o gatilho. Como a bola é sujeita a uma força de arrasto proporcional ao quadrado de sua velocidade, dado por , ela viaja mais devagar à medida que percorre na direção da placa de acordo com a fórmula . Suponha que a bola sai da mão do arremessador a . Despreze seu movimento vertical. Use o cálculo de para a bola de beisebol do Exemplo 6.11 para determinar a velocidade do arremesso quando a bola passa pela placa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como a velocidade de uma bola de beisebol muda enquanto ela viaja em direção à placa devido à resistência do ar. A gente precisa descobrir qual é a velocidade da bola quando ela passa pela placa, sabendo que ela foi lançada a 40,2 m/s e que a resistência do ar faz a velocidade diminuir conforme a fórmula . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre forças de arrasto e como elas afetam o movimento da bola.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Velocidade inicial da bola ( ) = 40,2 m/s
  • Distância até a placa ( ) = 18,3 m
  • Força de arrasto ( ) é proporcional ao quadrado da velocidade:
Além disso, a velocidade da bola diminui seguindo a equação . Nosso objetivo é encontrar a velocidade quando a bola chega à placa.

Passo 3

Para usar a fórmula , precisamos saber o valor de . O exercício menciona que devemos usar o cálculo de do Exemplo 6.11, que não temos aqui, mas vamos supor que já temos o valor de . Se não tivermos, normalmente depende de fatores como o coeficiente de arrasto, a densidade do ar, a área de seção transversal da bola e a massa da bola. Mas para continuar, vamos considerar que já foi determinado.

Passo 4

Agora, substituímos os valores conhecidos na fórmula. Vamos reorganizar a equação para facilitar a substituição:
Onde:
  • é conhecido do Exemplo 6.11

Passo 5

Vamos calcular o expoente primeiro:
Depois, calculamos a exponencial:
Finalmente, multiplicamos pela velocidade inicial:

Passo 6

Com o valor de em mãos, realizamos os cálculos:
  1. Multiplicamos por 18,3.
  2. Colocamos o resultado na exponencial.
  3. Multiplicamos esse valor por 40,2 m/s para encontrar a velocidade final .

Resposta

Após os cálculos, a velocidade da bola quando ela passa pela placa é de aproximadamente .

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