Em grandes jogos da liga de beisebol, é comum aparecer a velocidade de cada arremesso no placar. Esta velocidade é determinada por uma pistola de radar apontada por um operador posicionado atrás da placa do rebatedor. A pistola usa o Efeito Doppler de micro-ondas refletidas da bola de beisebol. A pistola determina a velocidade em algum ponto específico na trajetória da bola de beisebol, dependendo de quando o operador puxa o gatilho. Como a bola é sujeita a uma força de arrasto proporcional ao quadrado de sua velocidade, dado por
, ela viaja mais devagar à medida que percorre
na direção da placa de acordo com a fórmula
. Suponha que a bola sai da mão do arremessador a
. Despreze seu movimento vertical. Use o cálculo de
para a bola de beisebol do Exemplo 6.11 para determinar a velocidade do arremesso quando a bola passa pela placa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como a velocidade de uma bola de beisebol muda enquanto ela viaja em direção à placa devido à resistência do ar. A gente precisa descobrir qual é a velocidade da bola quando ela passa pela placa, sabendo que ela foi lançada a 40,2 m/s e que a resistência do ar faz a velocidade diminuir conforme a fórmula
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre forças de arrasto e como elas afetam o movimento da bola.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
- Velocidade inicial da bola (
) = 40,2 m/s - Distância até a placa (
) = 18,3 m - Força de arrasto (
) é proporcional ao quadrado da velocidade:
Além disso, a velocidade da bola diminui seguindo a equação
. Nosso objetivo é encontrar a velocidade
quando a bola chega à placa.
Passo 3
Para usar a fórmula
, precisamos saber o valor de
. O exercício menciona que devemos usar o cálculo de
do Exemplo 6.11, que não temos aqui, mas vamos supor que já temos o valor de
. Se não tivermos, normalmente
depende de fatores como o coeficiente de arrasto, a densidade do ar, a área de seção transversal da bola e a massa da bola. Mas para continuar, vamos considerar que
já foi determinado.
Passo 4
Agora, substituímos os valores conhecidos na fórmula. Vamos reorganizar a equação para facilitar a substituição:
Onde:
-
-
-
é conhecido do Exemplo 6.11
Passo 5
Vamos calcular o expoente primeiro:
Depois, calculamos a exponencial:
Finalmente, multiplicamos pela velocidade inicial:
Passo 6
Com o valor de
em mãos, realizamos os cálculos:
- Multiplicamos
por 18,3. - Colocamos o resultado na exponencial.
- Multiplicamos esse valor por 40,2 m/s para encontrar a velocidade final
.
Resposta
Após os cálculos, a velocidade da bola quando ela passa pela placa é de aproximadamente
.