GTC No fluxo ideal, um líquido de densidade move-se de um tubo horizontal de raio para um segundo tubo horizontal de raio na mesma elevação que o primeiro. A pressão difere por entre o líquido no primeiro tubo e o do segundo. © Avalie a taxa de fluxo de volume para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre fluxo ideal de um líquido com densidade de 850 kg/m³ que passa de um tubo com raio de 1,00 cm para outro tubo com raio de 0,500 cm, ambos na mesma altura. A diferença de pressão entre os tubos é de ΔP = 12,0 kPa. Nosso objetivo aqui é calcular a taxa de fluxo de volume, ou seja, quanto de líquido está passando por esses tubos por segundo.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Hagen-Poiseuille, que relaciona a taxa de fluxo volumétrico com a diferença de pressão, viscosidade do líquido (como estamos assumindo fluxo ideal, a viscosidade será desprezada), raios dos tubos e o comprimento, mas como os tubos são horizontais e na mesma elevação, podemos simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula simplificada para fluxo ideal entre dois tubos com diferentes raios:
Aqui, é a taxa de fluxo volumétrico, é a diferença de pressão e é a resistência ao fluxo.

Passo 3

A resistência ao fluxo em tubos circulares é dada por:
Mas como estamos lidando com fluxo ideal, a viscosidade pode ser considerada zero, o que simplifica nossa análise. Entretanto, para manter a proporcionalidade, consideramos que o fluxo se divide inversamente proporcional ao quarto do raio.

Passo 4

Como temos dois tubos, a taxa de fluxo total será a soma dos fluxos em cada tubo. Se chamarmos o tubo 1 com raio cm e o tubo 2 com raio cm, a relação dos fluxos será:

Passo 5

Substituindo os valores dos raios:
Isso significa que .

Passo 6

Como a pressão é a mesma para ambos os tubos e a soma dos fluxos é o fluxo total , temos:
Portanto,

Passo 7

Voltando à relação e substituindo:
No entanto, para uma análise mais precisa, considerando a proporcionalidade e a diferença de áreas, podemos usar a equação de continuidade e a relação de Bernoulli simplificada para fluxo ideal.

Passo 8

Vamos calcular a área dos tubos:
²
²

Passo 9

A taxa de fluxo é proporcional à área e à raiz da diferença de pressão:
Como temos dois tubos, somamos as áreas:

Passo 10

Substituindo os valores:
³

Resposta

A taxa de fluxo de volume é aproximadamente ³.

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