GTC No fluxo ideal, um líquido de densidade
move-se de um tubo horizontal de raio
para um segundo tubo horizontal de raio
na mesma elevação que o primeiro. A pressão difere por
entre o líquido no primeiro tubo e o do segundo. © Avalie a taxa de fluxo de volume para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre fluxo ideal de um líquido com densidade de 850 kg/m³ que passa de um tubo com raio de 1,00 cm para outro tubo com raio de 0,500 cm, ambos na mesma altura. A diferença de pressão entre os tubos é de ΔP = 12,0 kPa. Nosso objetivo aqui é calcular a taxa de fluxo de volume, ou seja, quanto de líquido está passando por esses tubos por segundo.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Hagen-Poiseuille, que relaciona a taxa de fluxo volumétrico com a diferença de pressão, viscosidade do líquido (como estamos assumindo fluxo ideal, a viscosidade será desprezada), raios dos tubos e o comprimento, mas como os tubos são horizontais e na mesma elevação, podemos simplificar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula simplificada para fluxo ideal entre dois tubos com diferentes raios:
Aqui,
é a taxa de fluxo volumétrico,
é a diferença de pressão e
é a resistência ao fluxo.
Passo 3
A resistência ao fluxo
em tubos circulares é dada por:
Mas como estamos lidando com fluxo ideal, a viscosidade
pode ser considerada zero, o que simplifica nossa análise. Entretanto, para manter a proporcionalidade, consideramos que o fluxo se divide inversamente proporcional ao quarto do raio.
Passo 4
Como temos dois tubos, a taxa de fluxo total será a soma dos fluxos em cada tubo. Se chamarmos o tubo 1 com raio
cm e o tubo 2 com raio
cm, a relação dos fluxos será:
Passo 5
Substituindo os valores dos raios:
Isso significa que
.
Passo 6
Como a pressão é a mesma para ambos os tubos e a soma dos fluxos é o fluxo total
, temos:
Portanto,
Passo 7
Voltando à relação
e substituindo:
No entanto, para uma análise mais precisa, considerando a proporcionalidade e a diferença de áreas, podemos usar a equação de continuidade e a relação de Bernoulli simplificada para fluxo ideal.
Passo 8
Vamos calcular a área dos tubos:
Passo 9
A taxa de fluxo é proporcional à área e à raiz da diferença de pressão:
Como temos dois tubos, somamos as áreas:
Passo 10
Substituindo os valores:
Resposta
A taxa de fluxo de volume é aproximadamente
.