Um hidroavião de massa total aterrissa em um lago com velocidade inicial . A única força horizontal sobre ele é a resistiva da água em seus flutuadores. A força resistiva é proporcional à velocidade do hidroavião: . A Segunda Lei de Newton aplicada ao avião é . A partir do teorema fundamental do cálculo, esta equação diferencial significa que a velocidade muda de acordo com
(a) Efetue a integração para determinar a velocidade do hidroavião como função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um hidroavião que aterrissa num lago com uma certa velocidade inicial . A única força que age na direção horizontal é a resistência da água, que é proporcional à velocidade do avião, ou seja, . Vamos usar a Segunda Lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração, para entender como a velocidade do hidroavião muda com o tempo. Para isso, precisamos resolver uma equação diferencial que envolve integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a Segunda Lei de Newton para o nosso caso:
Aqui, é a força resistiva e é a massa vezes a aceleração.

Passo 3

Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis e :
Agora, a gente tem uma equação onde podemos integrar os lados separados.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados. No lado esquerdo, integramos de até , e no lado direito, integramos de até :

Passo 5

Resolvendo as integrações:
  • A integral de é .
  • A integral de é .
Então, temos:

Passo 6

Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:

Passo 7

Agora, para resolver para , vamos exponenciar os dois lados:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A velocidade do hidroavião em função do tempo é dada por

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