Um hidroavião de massa total
aterrissa em um lago com velocidade inicial
. A única força horizontal sobre ele é a resistiva da água em seus flutuadores. A força resistiva é proporcional à velocidade do hidroavião:
. A Segunda Lei de Newton aplicada ao avião é
. A partir do teorema fundamental do cálculo, esta equação diferencial significa que a velocidade muda de acordo com
(a) Efetue a integração para determinar a velocidade do hidroavião como função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um hidroavião que aterrissa num lago com uma certa velocidade inicial
. A única força que age na direção horizontal é a resistência da água, que é proporcional à velocidade do avião, ou seja,
. Vamos usar a Segunda Lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração, para entender como a velocidade do hidroavião muda com o tempo. Para isso, precisamos resolver uma equação diferencial que envolve integração.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a Segunda Lei de Newton para o nosso caso:
Aqui,
é a força resistiva e
é a massa vezes a aceleração.
Passo 3
Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis
e
:
Agora, a gente tem uma equação onde podemos integrar os lados separados.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados. No lado esquerdo, integramos de
até
, e no lado direito, integramos de
até
:
Passo 5
Resolvendo as integrações:
- A integral de
é . - A integral de
é .
Então, temos:
Passo 6
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
Passo 7
Agora, para resolver para
, vamos exponenciar os dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A velocidade do hidroavião em função do tempo é dada por