Uma pia ao redor de um cano de esgoto tem a forma de um cone circular abrindo para cima, formando um ângulo de
com a horizontal em todos os pontos. Um cubo de gelo de
é posto para escorregar ao redor do cone sem atrito em um círculo horizontal de raio
. (a) Encontre a velocidade que o cubo de gelo deve ter como uma função de
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o problema está nos pedindo. Temos uma pia em forma de cone que forma um ângulo de
com a horizontal. Um cubo de gelo de
está escorregando sem atrito ao redor do cone em um círculo horizontal de raio
. Nosso objetivo é encontrar a velocidade
que o cubo de gelo deve ter em função do raio
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender quais forças estão agindo no cubo de gelo enquanto ele se move. Como não há atrito, as únicas forças envolvidas são:
-
Força da gravidade (
): Essa força puxa o cubo para baixo e é igual a , onde é a massa do cubo e é a aceleração da gravidade ( ). -
Força normal (
): Essa é a força exercida pelo cone sobre o cubo, perpendicular à superfície do cone.
Como o cubo está se movendo em um círculo horizontal, precisamos analisar as componentes dessas forças tanto na direção vertical quanto na direção radial (horizontal).
Passo 3
Vamos decompor a força normal em duas componentes:
- Componente vertical (
): Equilibrará a força da gravidade. - Componente horizontal (
): Fornecerá a força centrípeta necessária para o movimento circular.
Sabemos que o ângulo do cone com a horizontal é
. Portanto, podemos expressar as componentes da força normal da seguinte forma:
Passo 4
Primeiro, vamos considerar o equilíbrio na direção vertical. Como não há movimento nessa direção, a componente vertical da força normal deve equilibrar a força da gravidade:
Podemos isolar
:
Passo 5
Agora, vamos analisar a direção radial (horizontal). A componente horizontal da força normal fornece a força centrípeta necessária para manter o cubo em movimento circular:
Substituindo a expressão de
que encontramos no passo anterior:
Passo 6
Podemos simplificar a equação cancelando a massa
dos dois lados:
Lembrando que
, temos:
Passo 7
Agora, queremos encontrar
em função de
. Vamos isolar
:
E, finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A velocidade que o cubo de gelo deve ter em função do raio
é: