Uma pia ao redor de um cano de esgoto tem a forma de um cone circular abrindo para cima, formando um ângulo de com a horizontal em todos os pontos. Um cubo de gelo de é posto para escorregar ao redor do cone sem atrito em um círculo horizontal de raio . (a) Encontre a velocidade que o cubo de gelo deve ter como uma função de

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está nos pedindo. Temos uma pia em forma de cone que forma um ângulo de com a horizontal. Um cubo de gelo de está escorregando sem atrito ao redor do cone em um círculo horizontal de raio . Nosso objetivo é encontrar a velocidade que o cubo de gelo deve ter em função do raio .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quais forças estão agindo no cubo de gelo enquanto ele se move. Como não há atrito, as únicas forças envolvidas são:
  1. Força da gravidade ( ): Essa força puxa o cubo para baixo e é igual a , onde é a massa do cubo e é a aceleração da gravidade ( ).
  2. Força normal ( ): Essa é a força exercida pelo cone sobre o cubo, perpendicular à superfície do cone.
Como o cubo está se movendo em um círculo horizontal, precisamos analisar as componentes dessas forças tanto na direção vertical quanto na direção radial (horizontal).

Passo 3

Vamos decompor a força normal em duas componentes:
  • Componente vertical ( ): Equilibrará a força da gravidade.
  • Componente horizontal ( ): Fornecerá a força centrípeta necessária para o movimento circular.
Sabemos que o ângulo do cone com a horizontal é . Portanto, podemos expressar as componentes da força normal da seguinte forma:

Passo 4

Primeiro, vamos considerar o equilíbrio na direção vertical. Como não há movimento nessa direção, a componente vertical da força normal deve equilibrar a força da gravidade:
Podemos isolar :

Passo 5

Agora, vamos analisar a direção radial (horizontal). A componente horizontal da força normal fornece a força centrípeta necessária para manter o cubo em movimento circular:
Substituindo a expressão de que encontramos no passo anterior:

Passo 6

Podemos simplificar a equação cancelando a massa dos dois lados:
Lembrando que , temos:

Passo 7

Agora, queremos encontrar em função de . Vamos isolar :
E, finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A velocidade que o cubo de gelo deve ter em função do raio é:

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