QU O ar é inflado para dentro de um balão esférico de maneira que, quando seu raio é de , ele está aumentando em . (b) Se a taxa volumétrica de fluxo de ar que entra no balão for constante, a que taxa o raio aumentará quando for de ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um balão esférico que está sendo inflado com ar. Quando o raio desse balão é de 6,50 cm, ele está aumentando a uma taxa de 0,900 cm/s. A parte (b) da questão pergunta: se a taxa volumétrica de ar entrando no balão é constante, a que taxa o raio vai aumentar quando ele atingir 13,0 cm?
Aqui, estamos lidando com taxas relacionadas na matemática, especificadamente em Cálculo Diferencial. Vamos precisar usar a fórmula do volume de uma esfera e relacionar as taxas de variação do volume e do raio para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de uma esfera em função do raio :
Como queremos relacionar as taxas de variação do volume e do raio, vamos derivar essa fórmula em relação ao tempo :
Aqui, é a taxa de variação do volume, e é a taxa de variação do raio que queremos encontrar.

Passo 3

A questão nos diz que a taxa volumétrica é constante. Quando o raio cm, sabemos que cm/s. Vamos usar essa informação para encontrar :
Substituindo os valores conhecidos na equação derivada:
Calculando isso:
Então, a taxa volumétrica é aproximadamente .

Passo 4

Agora, queremos saber a taxa quando o raio cm, mantendo a taxa volumétrica constante.
Usando novamente a equação:
Resolvendo para :
Substituindo e cm:

Resposta

Quando o raio do balão for de 13,0 cm, ele estará aumentando a uma taxa de aproximadamente .

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