QU O ar é inflado para dentro de um balão esférico de maneira que, quando seu raio é de
, ele está aumentando em
. (b) Se a taxa volumétrica de fluxo de ar que entra no balão for constante, a que taxa o raio aumentará quando for de
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um balão esférico que está sendo inflado com ar. Quando o raio desse balão é de 6,50 cm, ele está aumentando a uma taxa de 0,900 cm/s. A parte (b) da questão pergunta: se a taxa volumétrica de ar entrando no balão é constante, a que taxa o raio vai aumentar quando ele atingir 13,0 cm?
Aqui, estamos lidando com taxas relacionadas na matemática, especificadamente em Cálculo Diferencial. Vamos precisar usar a fórmula do volume de uma esfera e relacionar as taxas de variação do volume e do raio para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume
de uma esfera em função do raio
:
Como queremos relacionar as taxas de variação do volume e do raio, vamos derivar essa fórmula em relação ao tempo
:
Aqui,
é a taxa de variação do volume, e
é a taxa de variação do raio que queremos encontrar.
Passo 3
A questão nos diz que a taxa volumétrica
é constante. Quando o raio
cm, sabemos que
cm/s. Vamos usar essa informação para encontrar
:
Substituindo os valores conhecidos na equação derivada:
Calculando isso:
Então, a taxa volumétrica é aproximadamente
.
Passo 4
Agora, queremos saber a taxa
quando o raio
cm, mantendo a taxa volumétrica constante.
Usando novamente a equação:
Resolvendo para
:
Substituindo
e
cm:
Resposta
Quando o raio do balão for de 13,0 cm, ele estará aumentando a uma taxa de aproximadamente
.