Uma barra que se estende entre
tem área da seção transversal uniforme
. Sua densidade aumenta regularmente entre suas extremidades de
a
. (a) Identifique as constantes
e
requeridas na expressão
para descrever a densidade variável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma barra que vai de
cm até
cm, com área de seção transversal uniforme
cm². A densidade da barra não é constante; ela aumenta de forma regular das extremidades, começando em
em
e chegando a
em
cm. O que precisamos fazer aqui é encontrar as constantes
e
na expressão
que descreve como a densidade varia ao longo da barra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula
. Essa é uma equação linear onde:
-
é a densidade em qualquer ponto da barra. -
é a densidade inicial quando . -
representa a taxa de variação da densidade conforme nos movemos ao longo da barra.
Nesse caso, sabemos que quando
,
. Isso nos ajuda a encontrar
.
Passo 3
Vamos usar o valor de
para encontrar
:
Substituindo
e
:
Então, já sabemos que
.
Passo 4
Agora, vamos usar a informação do outro extremo da barra para encontrar
. Sabemos que em
cm,
. Vamos substituir esses valores na equação:
Agora, vamos resolver para
.
Passo 5
Subtraindo
de ambos os lados da equação:
Agora, dividimos ambos os lados por
para encontrar
:
Resposta
As constantes são
e
.