Uma barra que se estende entre tem área da seção transversal uniforme . Sua densidade aumenta regularmente entre suas extremidades de a . (a) Identifique as constantes e requeridas na expressão para descrever a densidade variável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma barra que vai de cm até cm, com área de seção transversal uniforme cm². A densidade da barra não é constante; ela aumenta de forma regular das extremidades, começando em ³ em e chegando a ³ em cm. O que precisamos fazer aqui é encontrar as constantes e na expressão que descreve como a densidade varia ao longo da barra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula . Essa é uma equação linear onde:
  • é a densidade em qualquer ponto da barra.
  • é a densidade inicial quando .
  • representa a taxa de variação da densidade conforme nos movemos ao longo da barra.
Nesse caso, sabemos que quando , ³. Isso nos ajuda a encontrar .

Passo 3

Vamos usar o valor de para encontrar :
Substituindo e :
Então, já sabemos que ³.

Passo 4

Agora, vamos usar a informação do outro extremo da barra para encontrar . Sabemos que em cm, ³. Vamos substituir esses valores na equação:
Agora, vamos resolver para .

Passo 5

Subtraindo de ambos os lados da equação:
Agora, dividimos ambos os lados por para encontrar :
³

Resposta

As constantes são ³ e ³.

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