Uma barra que se estende entre tem área da seção transversal uniforme . Sua densidade aumenta regularmente entre suas extremidades de a . (b) A massa da haste é dada por
Efetue a integral para encontrar a massa da barra.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma barra que vai de até cm, com uma área de seção transversal constante de . A densidade dessa barra não é constante; ela aumenta de forma regular de em até em cm. Nosso objetivo aqui é calcular a massa total dessa barra usando uma integral. Para isso, vamos precisar entender como a densidade varia ao longo da barra e aplicar a fórmula da massa através da integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a densidade varia ao longo da barra. A densidade aumenta de forma linear, o que significa que podemos expressá-la como uma função do tipo:
onde e são constantes que precisamos encontrar. Sabemos que:
  • Em ,
  • Em ,

Passo 3

Vamos usar essas duas condições para encontrar e . Primeiro, substituímos na função da densidade:
Então, já encontramos .

Passo 4

Agora, usamos a segunda condição com :
Vamos resolver para :

Passo 5

Agora que temos e , podemos escrever a função da densidade:

Passo 6

A massa da barra é dada pela integral da densidade multiplicada pela área da seção transversal ao longo do comprimento da barra:
Substituindo e :

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 8

Agora, vamos resolver as integrais separadamente:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 9

Substituindo as integrais resolvidas de volta na expressão da massa:

Passo 10

Agora, vamos avaliar a expressão entre os limites de 0 e 14 cm:
Para :
Para :

Passo 11

Subtraindo os valores:

Resposta

A massa da barra é aproximadamente .

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