Uma barra que se estende entre
tem área da seção transversal uniforme
. Sua densidade aumenta regularmente entre suas extremidades de
a
. (b) A massa da haste é dada por
Efetue a integral para encontrar a massa da barra.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma barra que vai de
até
cm, com uma área de seção transversal constante de
. A densidade dessa barra não é constante; ela aumenta de forma regular de
em
até
em
cm. Nosso objetivo aqui é calcular a massa total dessa barra usando uma integral. Para isso, vamos precisar entender como a densidade varia ao longo da barra e aplicar a fórmula da massa através da integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a densidade varia ao longo da barra. A densidade
aumenta de forma linear, o que significa que podemos expressá-la como uma função do tipo:
onde
e
são constantes que precisamos encontrar. Sabemos que:
- Em
, - Em
,
Passo 3
Vamos usar essas duas condições para encontrar
e
. Primeiro, substituímos
na função da densidade:
Então, já encontramos
.
Passo 4
Agora, usamos a segunda condição com
:
Vamos resolver para
:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos escrever a função da densidade:
Passo 6
A massa
da barra é dada pela integral da densidade multiplicada pela área da seção transversal ao longo do comprimento da barra:
Substituindo
e
:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 8
Agora, vamos resolver as integrais separadamente:
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Substituindo as integrais resolvidas de volta na expressão da massa:
Passo 10
Agora, vamos avaliar a expressão entre os limites de 0 e 14 cm:
Para
:
Para
:
Passo 11
Subtraindo os valores:
Resposta
A massa da barra é aproximadamente
.