QU O ar é inflado para dentro de um balão esférico de maneira que, quando seu raio é de , ele está aumentando em . © Explique fisicamente por que a resposta do item (b) é maior ou menor que , caso seja diferente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um balão esférico que está sendo inflado com ar. Quando o raio do balão é de , ele está crescendo a uma taxa de . A questão © pede para explicar fisicamente por que a resposta do item (b) é maior ou menor que , se for diferente. Vamos precisar entender um pouco de cálculo relacionado a taxas de variação e como elas se aplicam a medidas de volume ou área em geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o balão é uma esfera. A fórmula para o volume de uma esfera é:
E a fórmula para a área superficial é:
Como o balão está sendo inflado, o raio está aumentando com o tempo. A taxa de variação do raio em relação ao tempo é dada por .

Passo 3

Vamos supor que no item (b) a gente calculou a taxa de variação do volume em relação ao tempo, ou seja, . Para encontrar isso, usamos a regra da cadeia na derivada:
Calculando :
Então,

Passo 4

Fazendo as contas:

Passo 5

Agora, se considerarmos que no item (b) a taxa de variação foi para a área superficial, ou seja, :
Substituindo os valores:

Passo 6

A questão © nos pede para comparar a taxa de variação obtida no item (b) com . Observando que:
  • Se o item (b) for sobre o volume ( ), essa taxa é muito maior que .
  • Se for sobre a área superficial ( ), também é maior que .
Isso acontece porque as taxas de variação do volume e da área estão relacionadas ao crescimento do raio de maneira não linear. Conforme o raio aumenta, pequenas variações em resultam em variações maiores em e .

Resposta

A taxa de variação calculada no item (b) é maior que porque, à medida que o raio do balão aumenta, pequenas mudanças no raio causam incrementos maiores no volume e na área superficial devido às fórmulas geométricas envolvidas.

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