QU O ar é inflado para dentro de um balão esférico de maneira que, quando seu raio é de
, ele está aumentando em
. © Explique fisicamente por que a resposta do item (b) é maior ou menor que
, caso seja diferente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um balão esférico que está sendo inflado com ar. Quando o raio do balão é de
, ele está crescendo a uma taxa de
. A questão © pede para explicar fisicamente por que a resposta do item (b) é maior ou menor que
, se for diferente. Vamos precisar entender um pouco de cálculo relacionado a taxas de variação e como elas se aplicam a medidas de volume ou área em geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o balão é uma esfera. A fórmula para o volume de uma esfera é:
E a fórmula para a área superficial é:
Como o balão está sendo inflado, o raio
está aumentando com o tempo. A taxa de variação do raio em relação ao tempo é dada por
.
Passo 3
Vamos supor que no item (b) a gente calculou a taxa de variação do volume em relação ao tempo, ou seja,
. Para encontrar isso, usamos a regra da cadeia na derivada:
Calculando
:
Então,
Passo 4
Fazendo as contas:
Passo 5
Agora, se considerarmos que no item (b) a taxa de variação foi para a área superficial, ou seja,
:
Substituindo os valores:
Passo 6
A questão © nos pede para comparar a taxa de variação obtida no item (b) com
. Observando que:
- Se o item (b) for sobre o volume (
), essa taxa é muito maior que . - Se for sobre a área superficial (
), também é maior que .
Isso acontece porque as taxas de variação do volume e da área estão relacionadas ao crescimento do raio de maneira não linear. Conforme o raio aumenta, pequenas variações em
resultam em variações maiores em
e
.
Resposta
A taxa de variação calculada no item (b) é maior que
porque, à medida que o raio do balão aumenta, pequenas mudanças no raio causam incrementos maiores no volume e na área superficial devido às fórmulas geométricas envolvidas.