Em Física, é importante utilizar aproximações matemáticas. (a) Demonstre que para ângulos pequenos (
)
onde
está em radianos e
, em graus.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos demonstrar que, para ângulos pequenos (menores que 20 graus), as funções tangente e seno do ângulo são aproximadamente iguais ao próprio ângulo quando este é medido em radianos. Além disso, também vamos ver como converter o ângulo de graus para radianos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições de seno, tangente e a relação entre graus e radianos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter um ângulo de graus para radianos. A fórmula para essa conversão é:
Aqui,
é o ângulo em radianos e
é o ângulo em graus. Essa relação nos permite trabalhar com o ângulo em radianos, que é a unidade padrão em muitas fórmulas matemáticas e físicas.
Passo 3
Agora, vamos considerar o gráfico das funções seno e tangente. Para ângulos pequenos, próximos de zero, as curvas de
e
se aproximam bastante da linha
. Isso ocorre porque, para valores pequenos de
, os termos de ordem superior nas séries de Taylor dessas funções se tornam negligenciáveis.
Passo 4
Vamos expandir as funções
e
em séries de Taylor ao redor de
:
Para ângulos pequenos, os termos
,
, etc., são muito menores que
, então podemos ignorá-los:
Passo 5
Portanto, para ângulos pequenos (menores que 20 graus), temos:
Isso significa que as funções tangente e seno do ângulo são aproximadamente iguais ao próprio ângulo quando este está em radianos.
Resposta
Para ângulos pequenos (menores que 20 graus), temos que: