Em Física, é importante utilizar aproximações matemáticas. (a) Demonstre que para ângulos pequenos ( )
onde está em radianos e , em graus.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos demonstrar que, para ângulos pequenos (menores que 20 graus), as funções tangente e seno do ângulo são aproximadamente iguais ao próprio ângulo quando este é medido em radianos. Além disso, também vamos ver como converter o ângulo de graus para radianos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições de seno, tangente e a relação entre graus e radianos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter um ângulo de graus para radianos. A fórmula para essa conversão é:
Aqui, é o ângulo em radianos e é o ângulo em graus. Essa relação nos permite trabalhar com o ângulo em radianos, que é a unidade padrão em muitas fórmulas matemáticas e físicas.

Passo 3

Agora, vamos considerar o gráfico das funções seno e tangente. Para ângulos pequenos, próximos de zero, as curvas de e se aproximam bastante da linha . Isso ocorre porque, para valores pequenos de , os termos de ordem superior nas séries de Taylor dessas funções se tornam negligenciáveis.

Passo 4

Vamos expandir as funções e em séries de Taylor ao redor de :
Para ângulos pequenos, os termos , , etc., são muito menores que , então podemos ignorá-los:

Passo 5

Portanto, para ângulos pequenos (menores que 20 graus), temos:
Isso significa que as funções tangente e seno do ângulo são aproximadamente iguais ao próprio ângulo quando este está em radianos.

Resposta

Para ângulos pequenos (menores que 20 graus), temos que:

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