A lei de Hubble pode ser formulada em forma vetorial como v=H R. Fora do grupo local das galáxias, todos os objetos estão se movendo em direção contrária a nós com velocidades proporcionais a suas posições em relação a nós. Desta forma, parece que nossa localização no universo é especialmente privilegiada. Prove que a lei de Hubble é igualmente verdadeira para um observador em qualquer outro lugar do universo. Proceda como segue. Suponha que estejamos na origem das coordenadas, um grupo de galáxias esteja no local R1 e tenha velocidade v1=H R 1 relativa a nós e outro grupo tenha vetor de posição R2 e velocidade v2=H R 2. Suponha que as velocidades sejam não relativísticas. Considere o referencial de um observador no primeiro desses grupos de galáxias. (a) Mostre que nossa velocidade em relação a ele, juntamente com o vetor de posição do grupo de galáxia em relação a ele, atende à lei de Hubble. (b) Mostre que a posição e a velocidade do grupo 2 em relação ao 1 atendem à lei de Hubble.

Passo 1

O enunciado apresenta a lei de Hubble em forma vetorial
v ;=; H ,R
valendo para um observador na origem do sistema de coordenadas. Aqui R é o vetor posição de uma galáxia e v sua velocidade medida por esse observador. Queremos mostrar que outro observador, digamos no local da galáxia 1, também medirá a lei de Hubble na mesma forma vetorial. Para isso vamos usar:
  • Transformação de posições em translações: R'=R-R1.
  • Transformação de velocidades em mecânica clássica (adição de vetores): v'=v-v1.

Passo 2

(a) Considere o observador em 1 e calcule sua posição e velocidade da nossa galáxia (a “origem original”) em relação a ele.
  • A posição de nós em relação a ele é
Rori>=m|1 =0-R1=-R1
  • A velocidade nossa em relação a ele é
vori>=m|1 =0-v1=-v1 =-H,R1 =H,l(-R1r)
Logo, definindo R'=-R1 e v'=-v1, temos
v'=H,R',
mostrando que o observador em 1 também vê a lei de Hubble para nós.

Passo 3

(b) Agora faça o mesmo raciocínio para a galáxia 2 vista do referencial em 1.
  • A posição de 2 relativa a 1 é
R2|1 =R2-R1
  • A velocidade de 2 relativa a 1 é
v2|1 =v2-v1 =H,R2-H,R1 =H,l(R2-R1r)
Portanto, chamando R'=R2-R1 e v'=v2-v1, obtemos novamente
v'=H,R'

Resposta

Tanto para “nós” vistos pelo observador em 1 quanto para a galáxia 2 vista por 1, a relação
v'=H,R'
é preservada. Assim a lei de Hubble mantém a mesma forma vetorial para qualquer observador.

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