A lei de Hubble pode ser formulada em forma vetorial como
. Fora do grupo local das galáxias, todos os objetos estão se movendo em direção contrária a nós com velocidades proporcionais a suas posições em relação a nós. Desta forma, parece que nossa localização no universo é especialmente privilegiada. Prove que a lei de Hubble é igualmente verdadeira para um observador em qualquer outro lugar do universo. Proceda como segue. Suponha que estejamos na origem das coordenadas, um grupo de galáxias esteja no local
e tenha velocidade
relativa a nós e outro grupo tenha vetor de posição
e velocidade
. Suponha que as velocidades sejam não relativísticas. Considere o referencial de um observador no primeiro desses grupos de galáxias. (a) Mostre que nossa velocidade em relação a ele, juntamente com o vetor de posição do grupo de galáxia em relação a ele, atende à lei de Hubble. (b) Mostre que a posição e a velocidade do grupo 2 em relação ao 1 atendem à lei de Hubble.
Passo 1
O enunciado apresenta a lei de Hubble em forma vetorial
valendo para um observador na origem do sistema de coordenadas. Aqui
é o vetor posição de uma galáxia e
sua velocidade medida por esse observador. Queremos mostrar que outro observador, digamos no local da galáxia 1, também medirá a lei de Hubble na mesma forma vetorial. Para isso vamos usar:
- Transformação de posições em translações:
. - Transformação de velocidades em mecânica clássica (adição de vetores):
.
Passo 2
(a) Considere o observador em 1 e calcule sua posição e velocidade da nossa galáxia (a “origem original”) em relação a ele.
- A posição de nós em relação a ele é
- A velocidade nossa em relação a ele é
Logo, definindo
e
, temos
mostrando que o observador em 1 também vê a lei de Hubble para nós.
Passo 3
(b) Agora faça o mesmo raciocínio para a galáxia 2 vista do referencial em 1.
- A posição de 2 relativa a 1 é
- A velocidade de 2 relativa a 1 é
Portanto, chamando
e
, obtemos novamente
Resposta
Tanto para “nós” vistos pelo observador em 1 quanto para a galáxia 2 vista por 1, a relação
é preservada. Assim a lei de Hubble mantém a mesma forma vetorial para qualquer observador.
é preservada. Assim a lei de Hubble mantém a mesma forma vetorial para qualquer observador.