Q|C A relatividade geral clássica visualiza a estrutura do espaço-tempo como determinista e bem definida em distâncias arbitrariamente pequenas. Por outro lado, a relatividade geral quântica proíbe distâncias inferiores ao comprimento de Planck, dadas por L=(hbar G / c^3)^1 / 2. (a) Calcule o valor do comprimento de Planck. A limitação quântica sugere que, após o big bang, quando toda seção observável do universo no momento estava contida em uma singularidade de tipo pontual, nada poderia ser observado até que a singularidade crescesse além do comprimento de Planck. Como o tamanho da singularidade crescia na velocidade da luz, podemos inferir que nenhuma observação era possível durante o intervalo de tempo necessário para que a luz percorresse o comprimento de Planck. (b) Calcule este intervalo de tempo, conhecido como tempo T de Planck e formule como ele se compara com a época ultraquente mencionada no texto.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na parte (a) devemos calcular o comprimento de Planck, que é dado por
L = raizhbar,Gc^3,
onde hbar é a constante de Planck reduzida, G é a constante gravitacional e c é a velocidade da luz. Na parte (b) precisamos usar esse comprimento para obter o tempo de Planck
T = Lc,
e comparar esse intervalo com a chamada época ultraquente do universo primitivo.

Passo 2

Para a parte (a) usamos a definição de comprimento de Planck. A ideia é combinar as três constantes fundamentais de modo a obter uma quantidade com dimensão de comprimento. Escrevemos
L = raizhbar,Gc^3

Passo 3

Substituindo valores numéricos em unidades SI:
hbar = 1,055times10^-34,Jcdot s,
G = 6,674times10^-11,m^3,kg^-1,s^-2,
c = 2,998times10^8,m/s.
Calculamos o radicando:
hbar,Gc^3 = 1,055times10^-34times6,674times10^-11(2,998times10^8)^3 approx 2,61times10^-70,m^2
Tomando a raiz quadrada,
L approx 1,62times10^-35,m

Passo 4

Para a parte (b) o tempo de Planck é o intervalo que a luz leva para percorrer uma distância igual a L. Assim, definimos
T = Lc

Passo 5

Usando L approx 1,62times10^-35,m e c = 2,998times10^8,m/s,
T approx 1,62times10^-352,998times10^8 approx 5,40times10^-44,s
Esse valor é muito menor que os instantes associados à época ultraquente (que se estende de cerca de 10^-43,s até 10^-32,s). O tempo de Planck marca o fim da fase em que não se pode aplicar nenhuma teoria clássica ou quântica bem estabelecida.

Resposta

O comprimento de Planck é
L approx 1,62times10^-35,m,
e o tempo de Planck é
T approx 5,40times10^-44,s
Esse intervalo é cerca de dez mil vezes menor que o início da chamada época ultraquente, situando-se na fronteira entre regimes dominados pela gravitação quântica e os modelos clássicos de cosmologia.

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