Q|C A relatividade geral clássica visualiza a estrutura do espaço-tempo como determinista e bem definida em distâncias arbitrariamente pequenas. Por outro lado, a relatividade geral quântica proíbe distâncias inferiores ao comprimento de Planck, dadas por
. (a) Calcule o valor do comprimento de Planck. A limitação quântica sugere que, após o big bang, quando toda seção observável do universo no momento estava contida em uma singularidade de tipo pontual, nada poderia ser observado até que a singularidade crescesse além do comprimento de Planck. Como o tamanho da singularidade crescia na velocidade da luz, podemos inferir que nenhuma observação era possível durante o intervalo de tempo necessário para que a luz percorresse o comprimento de Planck. (b) Calcule este intervalo de tempo, conhecido como tempo
de Planck e formule como ele se compara com a época ultraquente mencionada no texto.
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na parte (a) devemos calcular o comprimento de Planck, que é dado por
onde
é a constante de Planck reduzida,
é a constante gravitacional e
é a velocidade da luz. Na parte (b) precisamos usar esse comprimento para obter o tempo de Planck
e comparar esse intervalo com a chamada época ultraquente do universo primitivo.
Passo 2
Para a parte (a) usamos a definição de comprimento de Planck. A ideia é combinar as três constantes fundamentais de modo a obter uma quantidade com dimensão de comprimento. Escrevemos
Passo 3
Substituindo valores numéricos em unidades SI:
,
,
.
Calculamos o radicando:
Calculamos o radicando:
Tomando a raiz quadrada,
Passo 4
Para a parte (b) o tempo de Planck é o intervalo que a luz leva para percorrer uma distância igual a
. Assim, definimos
Passo 5
Usando
e
,
Esse valor é muito menor que os instantes associados à época ultraquente (que se estende de cerca de
até
). O tempo de Planck marca o fim da fase em que não se pode aplicar nenhuma teoria clássica ou quântica bem estabelecida.
Resposta
O comprimento de Planck é
e o tempo de Planck é
Esse intervalo é cerca de dez mil vezes menor que o início da chamada época ultraquente, situando-se na fronteira entre regimes dominados pela gravitação quântica e os modelos clássicos de cosmologia.