O manômetro de um cilindro de gás registra a pressão manométrica, que é a diferença entre a pressão interior e a pressão exterior . Vamos chamar essa pressão de . Quando o cilindro está cheio, a massa do gás nele é a uma pressão manométrica de . Supondo que a temperatura do cilindro permaneça constante, mostre que a massa do gás que permanece no cilindro quando a leitura da pressão é é dada por:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro de gás onde a pressão manométrica é a diferença entre a pressão interna do gás e a pressão externa . Quando o cilindro está cheio, a massa do gás é e a pressão manométrica é . Queremos descobrir qual será a massa do gás quando a pressão manométrica cair para , mantendo a temperatura constante. Para resolver isso, vamos usar a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão, volume, temperatura e massa do gás.

Passo 2

A Lei dos Gases Ideais é dada por:
Onde:
  • é a pressão do gás,
  • é o volume,
  • é a massa do gás,
  • é a constante dos gases,
  • é a temperatura.
Como a temperatura e o volume do cilindro permanecem constantes, podemos relacionar os estados inicial e final do gás.

Passo 3

Vamos escrever a equação da Lei dos Gases Ideais para o estado inicial e final:
Estado inicial:
Estado final:

Passo 4

Como e são constantes, podemos igualar as duas equações dividindo uma pela outra:
Simplificando:

Passo 5

Isolando :

Passo 6

Lembrando que a pressão manométrica é a diferença entre a pressão interna e a pressão externa , temos:

Passo 7

Substituindo esses valores na equação de :

Resposta

A massa do gás que permanece no cilindro é dada por:

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