O manômetro de um cilindro de gás registra a pressão manométrica, que é a diferença entre a pressão interior e a pressão exterior
. Vamos chamar essa pressão de
. Quando o cilindro está cheio, a massa do gás nele é
a uma pressão manométrica de
. Supondo que a temperatura do cilindro permaneça constante, mostre que a massa do gás que permanece no cilindro quando a leitura da pressão é
é dada por:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro de gás onde a pressão manométrica
é a diferença entre a pressão interna do gás e a pressão externa
. Quando o cilindro está cheio, a massa do gás é
e a pressão manométrica é
. Queremos descobrir qual será a massa do gás
quando a pressão manométrica cair para
, mantendo a temperatura constante. Para resolver isso, vamos usar a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão, volume, temperatura e massa do gás.
Passo 2
A Lei dos Gases Ideais é dada por:
Onde:
-
é a pressão do gás, -
é o volume, -
é a massa do gás, -
é a constante dos gases, -
é a temperatura.
Como a temperatura
e o volume
do cilindro permanecem constantes, podemos relacionar os estados inicial e final do gás.
Passo 3
Vamos escrever a equação da Lei dos Gases Ideais para o estado inicial e final:
Estado inicial:
Estado final:
Passo 4
Como
e
são constantes, podemos igualar as duas equações dividindo uma pela outra:
Simplificando:
Passo 5
Isolando
:
Passo 6
Lembrando que a pressão manométrica
é a diferença entre a pressão interna
e a pressão externa
, temos:
Passo 7
Substituindo esses valores na equação de
:
Resposta
A massa do gás que permanece no cilindro é dada por: