Moedas de coleção são às vezes banhadas a ouro para aumentar sua beleza e valor. Considere um quarto de dólar comemorativo, anunciado para venda por . Ele tem diâmetro de e espessura de e está totalmente coberto por uma camada de ouro puro de de espessura. O volume da cobertura é igual à espessura da camada multiplicada pela área à qual ela é aplicada. Os padrões nas faces da moeda e as ranhuras em sua borda têm um efeito desprezível nessa área. Suponha que o preço do ouro seja por grama. (b) O custo do ouro aumenta significativamente o valor da moeda? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma moeda comemorativa com uma camada de ouro e queremos descobrir se o custo desse ouro aumenta muito o valor total da moeda. Para isso, vamos precisar calcular quanto custa o ouro usado nessa camada e comparar com o preço total da moeda.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da moeda. A moeda é circular, então a área é dada por:
Onde é o raio da moeda. Sabemos que o diâmetro é de , então o raio é metade disso:
Convertendo para metros:
Agora calculamos a área:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o volume da camada de ouro. O volume é a área multiplicada pela espessura :
A espessura da camada é , que em metros é:
Então:

Passo 4

Para encontrar a massa do ouro utilizado, precisamos da densidade do ouro. A densidade do ouro puro é aproximadamente , que em é:
A massa é então:
Convertendo para gramas:

Passo 5

Agora, vamos calcular o custo desse ouro. Sabemos que o preço do ouro é por grama. Então:

Resposta

O custo do ouro utilizado na camada da moeda é aproximadamente . Como o preço da moeda é , o custo do ouro representa menos de 1% do valor total. Portanto, o custo do ouro não aumenta significativamente o valor da moeda.

Exercícios de Livros Relacionados