Moedas de coleção são às vezes banhadas a ouro para aumentar sua beleza e valor. Considere um quarto de dólar comemorativo, anunciado para venda por
. Ele tem diâmetro de
e espessura de
e está totalmente coberto por uma camada de ouro puro de
de espessura. O volume da cobertura é igual à espessura da camada multiplicada pela área à qual ela é aplicada. Os padrões nas faces da moeda e as ranhuras em sua borda têm um efeito desprezível nessa área. Suponha que o preço do ouro seja
por grama. (b) O custo do ouro aumenta significativamente o valor da moeda? Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma moeda comemorativa com uma camada de ouro e queremos descobrir se o custo desse ouro aumenta muito o valor total da moeda. Para isso, vamos precisar calcular quanto custa o ouro usado nessa camada e comparar com o preço total da moeda.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da moeda. A moeda é circular, então a área
é dada por:
Onde
é o raio da moeda. Sabemos que o diâmetro é de
, então o raio
é metade disso:
Convertendo para metros:
Agora calculamos a área:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o volume da camada de ouro. O volume
é a área multiplicada pela espessura
:
A espessura da camada é
, que em metros é:
Então:
Passo 4
Para encontrar a massa do ouro utilizado, precisamos da densidade do ouro. A densidade
do ouro puro é aproximadamente
, que em
é:
A massa
é então:
Convertendo para gramas:
Passo 5
Agora, vamos calcular o custo desse ouro. Sabemos que o preço do ouro é
por grama. Então:
Resposta
O custo do ouro utilizado na camada da moeda é aproximadamente
. Como o preço da moeda é
, o custo do ouro representa menos de 1% do valor total. Portanto, o custo do ouro não aumenta significativamente o valor da moeda.