Mostre que em um circuito no qual a resistência possa ser desprezada, ou seja, uma bobina sem resistência é alimentada por uma fonte de fem है se a corrente inicial for nula, seu valor no instante é dado por .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um circuito com uma bobina (indutor) sem resistência e uma fonte de força eletromotriz (fem) . A corrente inicial é zero, e queremos descobrir qual é a corrente no instante . Para resolver isso, vamos usar conceitos de indução eletromagnética e cálculo básico.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a fórmula que relaciona a tensão (voltagem) em uma bobina com a taxa de variação da corrente. Essa relação é dada por:
onde:
  • é a tensão na bobina,
  • é a indutância da bobina,
  • é a derivada da corrente em relação ao tempo.

Passo 3

No nosso caso, a única fonte de tensão no circuito é a fem . Como a resistência é desprezada, a tensão na bobina é igual à fem fornecida pela fonte. Então, podemos escrever:

Passo 4

Agora, queremos encontrar a corrente em função do tempo . Para isso, vamos rearranjar a equação para isolar :

Passo 5

A próxima etapa é integrar ambos os lados da equação para encontrar . Ao integrar, temos:
Simplificando, obtemos:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Para encontrar o valor de , usamos a condição inicial fornecida: a corrente inicial é zero quando . Substituindo esses valores na equação:

Resposta

Portanto, a corrente no instante é dada por:

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