Mostre que em um circuito
no qual a resistência possa ser desprezada, ou seja, uma bobina sem resistência é alimentada por uma fonte de fem
है se a corrente inicial for nula, seu valor no instante
é dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um circuito com uma bobina (indutor) sem resistência e uma fonte de força eletromotriz (fem)
. A corrente inicial é zero, e queremos descobrir qual é a corrente
no instante
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de indução eletromagnética e cálculo básico.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar a fórmula que relaciona a tensão (voltagem) em uma bobina com a taxa de variação da corrente. Essa relação é dada por:
onde:
-
é a tensão na bobina, -
é a indutância da bobina, -
é a derivada da corrente em relação ao tempo.
Passo 3
No nosso caso, a única fonte de tensão no circuito é a fem
. Como a resistência é desprezada, a tensão na bobina é igual à fem fornecida pela fonte. Então, podemos escrever:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a corrente
em função do tempo
. Para isso, vamos rearranjar a equação para isolar
:
Passo 5
A próxima etapa é integrar ambos os lados da equação para encontrar
. Ao integrar, temos:
Simplificando, obtemos:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para encontrar o valor de
, usamos a condição inicial fornecida: a corrente inicial é zero quando
. Substituindo esses valores na equação:
Resposta
Portanto, a corrente no instante
é dada por: