(a) Mostre que o decaimento do próton p e^++gamma não pode acontecer porque viola a conservação do número bariônico. (b) E se? Imagine que esta reação acontece e que o próton está inicialmente em repouso. Determine as energias e módulos do momento linear do pósitron e do fóton após a reação. (c) Determine a velocidade do pósitron após a reação.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) mostrar que o decaimento
ptoe^+ + gamma é proibido pela conservação do número bariônico;
(b) supondo hipoteticamente que ele ocorra com o próton inicial em repouso, usar conservação de energia e momento para achar as energias Ee^+, Egamma e o módulo do momento p das partículas finais;
(c) calcular a velocidade do pósitron.
O conteúdo principal envolve conservação de número bariônico e cinemática de decaimento a duas partículas em repouso.

Passo 2

Número bariônico: o próton tem número bariônico B=+1. O pósitron é um leptón e o fóton é uma partícula neutra, ambos com B=0. Portanto, na reação hipotética
Binicial=+1, Bfinal=0+0=0,
há violação de conservação de número bariônico, o que proíbe esse decaimento.

Passo 3

Para o caso hipotético em que o próton de massa mp está em repouso e decai em duas partículas, vale:
  1. Conservação de momento: como vec pp=0, os vetores momento das particulas finais têm mesmo módulo p e sentidos opostos.
  2. Conservação de energia:
Ee^++Egamma=mp c^2

Passo 4

Expressamos as energias em função de p:
– Para o fóton, Egamma=p,c.
– Para o pósitron,
Ee^+=raiz(p,c)^2+(me c^2)^2
Logo
raiz(p,c)^2+(me c^2)^2+p,c=mp c^2
Resolvendo em p,c obtemos
p,c=mp^2 c^4 - me^2 c^42,mp c^2 =mp^2 - me^22,mpc^2
Então
Egamma=p,c, Ee^+=mp c^2 - Egamma

Passo 5

Usando mp c^2=938,27;MeV e me c^2=0,511;MeV:
p,c=(938,27)^2-(0,511)^22times 938,27;MeV approx 469,3;MeV,
Egamma=469,3;MeV, Ee^+=938,27-469,3approx 468,97;MeV,
p=Egammacapprox 469,3;MeV/c

Passo 6

A velocidade do pósitron é
betaequiv vc=p,cEe^+ =mp^2 - me^2mp^2 + me^2 approx 0,9999994,
ou seja
vapprox 0,9999994,c

Resposta

(a) É proibido porque o próton tem B=+1 e os produtos têm B=0, violando conservação do número bariônico.
(b) Egammaapprox 469,3;MeV, Ee^+approx 468,97;MeV, papprox 469,3;MeV/c.
(c) vapprox 0,9999994,c.

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