S Mostre que a função de onda
é uma solução para a Equação 2.27, onde
é uma constante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que a função de onda
é uma solução para a Equação 2.27, onde
é uma constante. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais parciais, mais especificamente com a equação da onda. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e então verificar se elas satisfazem a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação da onda. Geralmente, ela é expressa como:
Nossa meta é substituir
nessa equação e ver se a igualdade é verdadeira.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de
em relação a
:
Aqui, aplicamos a regra da cadeia para derivação.
Passo 4
Agora, calculamos a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
:
Passo 6
Agora, calculamos a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 7
Substituindo as derivadas que calculamos na equação da onda:
Passo 8
Comparando os dois lados da equação:
Ambos os lados são iguais, o que confirma que a função
satisfaz a equação da onda.
Resposta
Portanto, mostramos que a função de onda
é uma solução para a Equação 2.27.