S Mostre que a função de onda é uma solução para a Equação 2.27, onde é uma constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que a função de onda é uma solução para a Equação 2.27, onde é uma constante. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais parciais, mais especificamente com a equação da onda. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e então verificar se elas satisfazem a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação da onda. Geralmente, ela é expressa como:
Nossa meta é substituir nessa equação e ver se a igualdade é verdadeira.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de em relação a :
Aqui, aplicamos a regra da cadeia para derivação.

Passo 4

Agora, calculamos a segunda derivada de em relação a :

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a primeira derivada de em relação a :

Passo 6

Agora, calculamos a segunda derivada de em relação a :

Passo 7

Substituindo as derivadas que calculamos na equação da onda:

Passo 8

Comparando os dois lados da equação:
Ambos os lados são iguais, o que confirma que a função satisfaz a equação da onda.

Resposta

Portanto, mostramos que a função de onda é uma solução para a Equação 2.27.

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