Mostre que o potencial vetor para dois fios retilíneos, paralelos e infinitos, percorridos por uma corrente
em sentidos opostos, é
em que
e
são as distâncias de um ponto aos fios e
é um unitário com o sentido da corrente.
Passo 1
O enunciado pede o potencial vetor
de duas correntes estacionárias infinitas e paralelas, cada uma com intensidade
e orientadas em sentidos opostos. O conteúdo que vamos usar é a fórmula de Biot–Savart para o potencial vetor em regime estático, escolhendo a gauge de Coulomb (
):
Como cada fio é retilíneo e infinito, sua densidade de corrente é
, onde
é o vetor unitário na direção da corrente.
Passo 2
Primeiro calculamos
de um único fio situado, por exemplo, na origem e percorrido por corrente
. Usando
com
. A integral diverge, mas podemos regularizar entre
e
e depois tomar
, obtendo, até constante aditivo,
Escolhendo a constante de tal forma que o potencial zero seja em
, temos
onde
é a distância ao primeiro fio.
Passo 3
Para o segundo fio, deslocado de modo que a distância até o ponto
seja
, e percorrido por corrente de sentido oposto (isto é,
), obtemos por análogo raciocínio
Passo 4
Como o potencial vetor obedece ao princípio de superposição, o resultado total é