Mostre que o potencial vetor para dois fios retilíneos, paralelos e infinitos, percorridos por uma corrente I em sentidos opostos, é
A=mu0 I2 pi ln (r2r1) n
em que r1 e r2 são as distâncias de um ponto aos fios e n é um unitário com o sentido da corrente.

Passo 1

O enunciado pede o potencial vetor A de duas correntes estacionárias infinitas e paralelas, cada uma com intensidade I e orientadas em sentidos opostos. O conteúdo que vamos usar é a fórmula de Biot–Savart para o potencial vetor em regime estático, escolhendo a gauge de Coulomb ( nablacdotvec A=0):
vec A(vec r)=mu04piintegralvec J(vec r,')|vec r-vec r,'|,d^3r',
Como cada fio é retilíneo e infinito, sua densidade de corrente é vec J=I,de<a(x-xi),de<a(y-yi),hat n, onde hat n é o vetor unitário na direção da corrente.

Passo 2

Primeiro calculamos vec A de um único fio situado, por exemplo, na origem e percorrido por corrente +I,hat n. Usando
Ax=Ay=0, Az(rho) =mu0 I4piintegral-infty^inftydz'raizrho^2+(z-z')^2
com rho=raizx^2+y^2. A integral diverge, mas podemos regularizar entre -L e +L e depois tomar Ltoinfty, obtendo, até constante aditivo,
Az(rho) =-mu0 I2piln(rho),+,constante
Escolhendo a constante de tal forma que o potencial zero seja em rhotoinfty, temos
vec A1(vec r) =-mu0 I2piln(r1),hat n,
onde r1 é a distância ao primeiro fio.

Passo 3

Para o segundo fio, deslocado de modo que a distância até o ponto P seja r2, e percorrido por corrente de sentido oposto (isto é, -I,hat n), obtemos por análogo raciocínio
vec A2(vec r) =-mu0(-I)2piln(r2),hat n =mu0 I2piln(r2),hat n

Passo 4

Como o potencial vetor obedece ao princípio de superposição, o resultado total é
vec A(vec r)=vec A1(vec r)+vec A2(vec r) =-mu0 I2piln(r1),hat n +mu0 I2piln(r2),hat n =mu0 I2piln!gl(r2r1gr)hat n

Resposta

A=mu0 I2 piln!l(r2r1r),n

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