Mostre que o tempo próprio dado pela eq. 2-12 como d \tau=d t \sqrt{1-\beta^{2}}, é uma quantidade invariante, com respeito à transformação de Lorentz [Sugestão. Em \beta^{2}=v^{2} / c^{2}, ponha v^{2}=(d x / d t)^{2}+(d \tilde{z} / d t)^{2}+(d z / d t)^{2} ].

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o diferencial do tempo próprio
d\tau = dt\,\sqrt{1-\beta^2},\quad\beta^2=\frac{v^2}{c^2}
é invariante sob transformação de Lorentz. Vamos usar a sugestão e escrever
\;v^2=\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dz}{dt}\Bigr)^2
para reescrever d\tau numa forma que evidencie a métrica de Minkowski.

Passo 2

Elevando ao quadrado, obtemos
d\tau^2 =dt^2\bigl(1-\beta^2\bigr) =dt^2 - \frac{dx^2+dy^2+dz^2}{c^2}\,.
Ou seja,
d\tau^2 =\frac{1}{c^2}\Bigl(c^2\,dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2\Bigr).
Esse é o comprimento de arco no espaço-tempo, que sabemos ser invariante nas transformações de Lorentz.

Passo 3

Considere uma Lorentz boost ao longo de x. As diferenças de coordenadas transformam-se como
dx'=\gamma\bigl(dx - v\,dt\bigr),\qquad dt'=\gamma\Bigl(dt - \frac{v\,dx}{c^2}\Bigr),\qquad dy'=dy,\qquad dz'=dz,
onde \gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}.

Passo 4

Vamos calcular
d\tau'^2 =dt'^2 - \frac{dx'^2+dy'^2+dz'^2}{c^2}.
Substituindo dx' e dt' e lembrando que dy'=dy,\;dz'=dz, temos
dt'^2-\frac{dx'^2}{c^2} =\gamma^2\Bigl(dt - \tfrac{v\,dx}{c^2}\Bigr)^2 -\frac{\gamma^2}{c^2}\bigl(dx - v\,dt\bigr)^2.
Expandindo e organizando termos, as parcelas mistas em dt\,dx se cancelam e sobra
dt'^2-\frac{dx'^2}{c^2} =dt^2 - \frac{dx^2}{c^2}.
Como dy',dz' não mudam, ao somar -\tfrac{dy'^2+dz'^2}{c^2} recuperamos exatamente
d\tau'^2 =dt^2 - \frac{dx^2+dy^2+dz^2}{c^2} =d\tau^2.

Passo 5

Mostramos portanto que
d\tau'^2 = d\tau^2 \quad\longrightarrow\quad d\tau' = d\tau,
isto é, o diferencial do tempo próprio é o mesmo em qualquer referencial ligado por uma transformação de Lorentz.

Resposta

O diferencial do tempo próprio d\tau = dt\,\sqrt{1-\beta^2} é invariante sob transformação de Lorentz.

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