Mostre que o tempo próprio dado pela eq.
como
, é uma quantidade invariante, com respeito à transformação de Lorentz [Sugestão. Em
, ponha
].
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o diferencial do tempo próprio
é invariante sob transformação de Lorentz. Vamos usar a sugestão e escrever
para reescrever
numa forma que evidencie a métrica de Minkowski.
Passo 2
Elevando ao quadrado, obtemos
Ou seja,
Esse é o comprimento de arco no espaço-tempo, que sabemos ser invariante nas transformações de Lorentz.
Passo 3
Considere uma Lorentz boost ao longo de
. As diferenças de coordenadas transformam-se como
onde
.
Passo 4
Vamos calcular
Substituindo
e
e lembrando que
, temos
Expandindo e organizando termos, as parcelas mistas em
se cancelam e sobra
Como
não mudam, ao somar
recuperamos exatamente
Passo 5
Mostramos portanto que
isto é, o diferencial do tempo próprio é o mesmo em qualquer referencial ligado por uma transformação de Lorentz.
Resposta
O diferencial do tempo próprio
é invariante sob transformação de Lorentz.