Um objeto está submetido a uma força dada por . Calcule o trabalho realizado por essa força sobre o objeto quando este: ( se move sobre o eixo dos do ponto e então vai de até paralelamente ao eixo dos . (Dica: como , quando o movimento é paralelo ao eixo dos e quando é paralelo ao eixo dos .)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma força agindo sobre um objeto. A tarefa é calcular o trabalho feito por essa força quando o objeto se move primeiro ao longo do eixo dos do ponto até e depois de até paralelamente ao eixo dos . Para isso, vamos usar o conceito de trabalho em força variável e integrar a força ao longo do caminho percorrido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho é dado por:
Aqui, representa o produto escalar da força com o deslocamento infinitesimal.

Passo 3

Vamos dividir o caminho em duas partes:
  1. Caminho 1: De até ao longo do eixo dos .
  2. Caminho 2: De até paralelamente ao eixo dos .

Passo 4

Caminho 1: Movimento ao longo do eixo dos .
  • Como o movimento é paralelo ao eixo dos , e .
  • A força . Mas como nesse caminho, a força simplifica para .
  • O trabalho no Caminho 1 fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral para :

Passo 6

Caminho 2: Movimento paralelo ao eixo dos .
  • Aqui, e .
  • A força . Como nesse trecho, a força fica .
  • O trabalho no Caminho 2 é:

Passo 7

Calculando a integral para :

Passo 8

Agora, somamos os trabalhos dos dois caminhos para obter o trabalho total :

Resposta

O trabalho realizado pela força durante todo o percurso é:

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