Observação: Antes de fazer qualquer cálculo envolvendo dilatação do tempo ou contração do comprimento, é útil identificar qual observador mede o intervalo de tempo apropriado
\Delta t_{0} ou o comprimento apropriado L_{0}.
Suponha que você esteja planejando uma viagem na qual uma espaçonave deve viajar com velocidade constante por exatamente seis meses, medidos por um relógio a bordo da espaçonave, e depois voltar para casa com a mesma velocidade. Na volta, as pessoas na Terra terão avançado exatamente cem anos no futuro. De acordo com a relatividade especial, com que velocidade você deve viajar? Expresse sua resposta com cinco algarismos significativos como um múltiplo de c-por exemplo, 0,95585 c.

Passo 1

O enunciado diz que a espaçonave viaja para longe com velocidade constante v durante exatamente seis meses, medidos por um relógio a bordo, faz o retorno com a mesma velocidade e, ao chegar, no planeta Terra terão se passado 100 anos.
Aqui o intervalo de tempo próprio (marca pelo relógio da espaçonave) é \tau_{0,\text{ida}}=6 meses e \tau_{0,\text{volta}}=6 meses, totalizando
\tau_{0,\text{total}} = 6\text{ meses} + 6\text{ meses} = 1\text{ ano}.
O intervalo de tempo “dilatado” medido na Terra (tempo coordenado) é \Delta t=100 anos.

Passo 2

Na relatividade especial, a dilatação do tempo relaciona o tempo próprio \tau_{0} com o tempo coordenado \Delta t por
\Delta t = \gamma\,\tau_{0,\text{total}},
onde
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}
é o fator de Lorentz.

Passo 3

Isolando \gamma a partir de \Delta t = \gamma\,\tau_{0,\text{total}}, obtemos
\gamma = \frac{\Delta t}{\tau_{0,\text{total}}} = \frac{100\text{ anos}}{1\text{ ano}} = 100.
Agora expressamos v/c em função de \gamma. De
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}
segue
1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} = \frac{1}{\gamma^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{v}{c} = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^{2}}}.

Passo 4

Substituindo \gamma=100:
\frac{v}{c} = \sqrt{1 - \frac{1}{100^{2}}} = \sqrt{1 - 0,0001} = \sqrt{0,9999} \approx 0,9999499987.
Arredondando para cinco algarismos significativos,
\frac{v}{c}\approx 0,99995.

Resposta

v\approx 0,99995\,c

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