Observação: Antes de fazer qualquer cálculo envolvendo dilatação do tempo ou contração do comprimento, é útil identificar qual observador mede o intervalo de tempo apropriado
\Delta t_{0} ou o comprimento apropriado L_{0}.
*5. Um objeto de 6,00 \mathrm{~kg} oscila para a frente e para trás na extremidade de uma mola cuja constante de mola (ou rigidez) é igual a 76,0 \mathrm{N} / \mathrm{m}. Um observador está viajando com uma velocidade de 1,90 \times 10^{8}
\mathrm{m} / \mathrm{s} em relação à extremidade fixa da mola. Qual o valor que esse observador mede como o período de oscilação?

Passo 1

O enunciado dá uma massa m=6{,}00\:\mathrm{kg} presa a uma mola de constante elástica k=76{,}0\:\mathrm{N/m} que oscila em MHS. Em seu repouso, o período próprio da oscilação é
T_{0}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.
Como um observador move–se à velocidade v=1{,}90\times10^{8}\:\mathrm{m/s} em relação à mola, ele verá o intervalo de tempo dilatado pela Relatividade Restrita segundo
\Delta t=\gamma\,\Delta t_{0},\quad\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}.

Passo 2

Calcular o período próprio T_{0}. Substituindo m e k em
T_{0}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}
obtemos
T_{0}=2\pi\sqrt{\frac{6{,}00}{76{,}0}}\:\mathrm{s}.

Passo 3

Avaliar numericamente T_{0}. Primeiro
\frac{6{,}00}{76{,}0}\approx0{,}07895,\quad\sqrt{0{,}07895}\approx0{,}2809,
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T_{0}\approx2\pi\times0{,}2809\approx1{,}77\:\mathrm{s}.

Passo 4

Calcular o fator de Lorentz \gamma. Tomando c=3{,}00\times10^{8}\:\mathrm{m/s},
\beta=\frac{v}{c}=\frac{1{,}90\times10^{8}}{3{,}00\times10^{8}}\approx0{,}6333,
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-0{,}6333^{2}}}\approx1{,}29.

Passo 5

Aplicar a dilatação do tempo para encontrar o período medido pelo observador em movimento:
T=\gamma\,T_{0}\approx1{,}29\times1{,}77\:\mathrm{s}\approx2{,}28\:\mathrm{s}.

Resposta

O observador em movimento mede um período de aproximadamente 2,28\:\mathrm{s}.

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