S Uma onda bidimensional se propaga em círculos na água. Mostre que a amplitude
a uma distância
da perturbação inicial é proporcional a
. Sugestão: considere a energia transportada por uma série de ondas se movimentando para fora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma onda bidimensional que se propaga em círculos na água. A gente precisa mostrar que a amplitude
dessa onda, a uma distância
da perturbação inicial, é proporcional a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia transportada por ondas que se movem para fora.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia transportada por uma onda está relacionada à sua amplitude. Em geral, a energia
de uma onda é proporcional ao quadrado da amplitude:
Isso significa que se a amplitude diminui, a energia também diminui, e vice-versa.
Passo 3
Como a onda está se propagando em círculos, a energia total que sai do ponto de origem se distribui nessa área circular à medida que a onda avança. A área de um círculo é dada por:
Como estamos considerando a propagação em duas dimensões, a “espessura” pode ser vista como uma unidade, então a área simplesmente é:
Passo 4
A energia total
que a onda carrega se mantém constante enquanto se propaga, assumindo que não há perdas. Então, a energia por unidade de área,
, estará distribuída ao longo dessa área circular:
Como
, podemos substituir:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
E, tomando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Resposta
Portanto, a amplitude
da onda a uma distância
da perturbação inicial é proporcional a
.