S Uma onda bidimensional se propaga em círculos na água. Mostre que a amplitude a uma distância da perturbação inicial é proporcional a . Sugestão: considere a energia transportada por uma série de ondas se movimentando para fora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma onda bidimensional que se propaga em círculos na água. A gente precisa mostrar que a amplitude dessa onda, a uma distância da perturbação inicial, é proporcional a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia transportada por ondas que se movem para fora.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia transportada por uma onda está relacionada à sua amplitude. Em geral, a energia de uma onda é proporcional ao quadrado da amplitude:
Isso significa que se a amplitude diminui, a energia também diminui, e vice-versa.

Passo 3

Como a onda está se propagando em círculos, a energia total que sai do ponto de origem se distribui nessa área circular à medida que a onda avança. A área de um círculo é dada por:
Á
Como estamos considerando a propagação em duas dimensões, a “espessura” pode ser vista como uma unidade, então a área simplesmente é:
Á

Passo 4

A energia total que a onda carrega se mantém constante enquanto se propaga, assumindo que não há perdas. Então, a energia por unidade de área, , estará distribuída ao longo dessa área circular:
Como , podemos substituir:

Passo 5

Agora, vamos isolar :
E, tomando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :

Resposta

Portanto, a amplitude da onda a uma distância da perturbação inicial é proporcional a .

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