Uma partícula de massa
está no estado
onde
e
são constantes reais positivas.
(a) Encontre A.
(a) Encontre A.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula com massa
em um estado descrito pela função de onda:
onde
e
são constantes reais positivas. A questão pede para achar o valor de
.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de normalização da função de onda na mecânica quântica. Isso significa que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço deve ser igual a 1. Vamos seguir os passos para normalizar a função de onda e encontrar
.
Passo 2
Primeiro, lembrando que a função de onda precisa ser normalizada, temos que:
Vamos calcular
. A função de onda
é dada por:
O módulo ao quadrado dessa função é:
onde
é o complexo conjugado de
.
Passo 3
Vamos encontrar o complexo conjugado
. Sabemos que:
Agora, multiplicando
por
:
Note que os termos imaginários
se cancelam.
Passo 4
Agora, substituímos
na integral de normalização:
Fatorando
, temos:
Precisamos resolver essa integral, que é uma integral gaussiana.
Passo 5
Lembrando que a integral gaussiana é:
onde
é uma constante positiva. No nosso caso,
.
Então, a integral fica:
Passo 6
Substituindo de volta na equação de normalização:
Para encontrar
, isolamos
:
Passo 7
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para achar
:
Resposta
O valor de
é: