Uma partícula de massa está no estado
onde e são constantes reais positivas.
(a) Encontre A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula com massa em um estado descrito pela função de onda:
onde e são constantes reais positivas. A questão pede para achar o valor de .
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de normalização da função de onda na mecânica quântica. Isso significa que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço deve ser igual a 1. Vamos seguir os passos para normalizar a função de onda e encontrar .

Passo 2

Primeiro, lembrando que a função de onda precisa ser normalizada, temos que:
Vamos calcular . A função de onda é dada por:
O módulo ao quadrado dessa função é:
onde é o complexo conjugado de .

Passo 3

Vamos encontrar o complexo conjugado . Sabemos que:
Agora, multiplicando por :
Note que os termos imaginários se cancelam.

Passo 4

Agora, substituímos na integral de normalização:
Fatorando , temos:
Precisamos resolver essa integral, que é uma integral gaussiana.

Passo 5

Lembrando que a integral gaussiana é:
onde é uma constante positiva. No nosso caso, .
Então, a integral fica:

Passo 6

Substituindo de volta na equação de normalização:
Para encontrar , isolamos :

Passo 7

Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para achar :

Resposta

O valor de é:

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