Agulha de Buffon. Uma agulha de comprimento é derrubada aleatoriamente sobre uma fotha de papel com pautas paralelas espaçadas de uma distância . Qual é a probabilidade de que a agulha cruze uma linha? Dica: consulte o Problema 1.12.

Passo 1

Beleza, então temos o problema da Agulha de Buffon. Estamos trabalhando com conceitos de probabilidade e geometria. A questão é: qual a chance de uma agulha de comprimento , jogada aleatoriamente sobre um papel com linhas paralelas espaçadas também de , cruzar uma dessas linhas? Para resolver isso, vamos precisar entender como a posição e o ângulo da agulha afetam essa probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que a agulha cai sobre as linhas paralelas. Para determinar se ela cruza uma linha, precisamos considerar dois fatores principais:
  1. O ângulo ( ) que a agulha forma com as linhas.
  2. A distância ( ) do centro da agulha até a linha mais próxima.
Ambos, e , são variáveis aleatórias que determinam se a agulha vai ou não cruzar uma linha.

Passo 3

Agora, vamos ver quando a agulha cruza uma linha. A agulha vai cruzar uma linha se a projeção da metade do comprimento da agulha na direção perpendicular às linhas for maior ou igual à distância do centro até a linha. Matematicamente, isso acontece quando:
Ou seja:

Passo 4

Para encontrar a probabilidade, precisamos calcular a área favorável onde essa condição é verdadeira e dividir pela área total possível.
  • Área total: Como varia de a e varia de a (devido simetria), a área total será:
Á
  • Área favorável: A área onde é a integral de de a para de a :
Áá

Passo 5

Agora, a probabilidade de a agulha cruzar uma linha é a razão entre a área favorável e a área total:
ÁáÁ

Resposta

A probabilidade de a agulha cruzar uma linha é ou 63,66%.

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