Agulha de Buffon. Uma agulha de comprimento
é derrubada aleatoriamente sobre uma fotha de papel com pautas paralelas espaçadas de uma distância
. Qual é a probabilidade de que a agulha cruze uma linha? Dica: consulte o Problema 1.12.
Passo 1
Beleza, então temos o problema da Agulha de Buffon. Estamos trabalhando com conceitos de probabilidade e geometria. A questão é: qual a chance de uma agulha de comprimento
, jogada aleatoriamente sobre um papel com linhas paralelas espaçadas também de
, cruzar uma dessas linhas? Para resolver isso, vamos precisar entender como a posição e o ângulo da agulha afetam essa probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar que a agulha cai sobre as linhas paralelas. Para determinar se ela cruza uma linha, precisamos considerar dois fatores principais:
- O ângulo (
) que a agulha forma com as linhas. - A distância (
) do centro da agulha até a linha mais próxima.
Ambos,
e
, são variáveis aleatórias que determinam se a agulha vai ou não cruzar uma linha.
Passo 3
Agora, vamos ver quando a agulha cruza uma linha. A agulha vai cruzar uma linha se a projeção da metade do comprimento da agulha na direção perpendicular às linhas for maior ou igual à distância do centro até a linha. Matematicamente, isso acontece quando:
Ou seja:
Passo 4
Para encontrar a probabilidade, precisamos calcular a área favorável onde essa condição é verdadeira e dividir pela área total possível.
- Área total: Como
varia de a e varia de a (devido simetria), a área total será:
- Área favorável: A área onde
é a integral de de a para de a :
Passo 5
Agora, a probabilidade
de a agulha cruzar uma linha é a razão entre a área favorável e a área total:
Resposta
A probabilidade de a agulha cruzar uma linha é
ou 63,66%.