Seja a probabilidade de encontrar uma partícula no intervalo , no instante .
(a) Mostre que
onde
Quais são as unidades de ? Observação: é chamada de corrente de probabilidade, pois estabelece a taxa com que a probabilidade ‘flui’ através do ponto . aumenta, então mais probabilidade está fluindo para dentro da região em uma extremidade do que está fluindo para fora na outra.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar uma relação envolvendo a probabilidade de encontrar uma partícula em um certo intervalo de espaço ao longo do tempo. Estamos trabalhando com mecânica quântica, mais especificamente com o conceito de corrente de probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como a probabilidade muda no tempo e como essa mudança está relacionada à corrente de probabilidade .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de encontrar a partícula entre e no tempo é dada por:
Aqui, é a função de onda da partícula, e representa a densidade de probabilidade.

Passo 3

Queremos encontrar a derivada dessa probabilidade em relação ao tempo, ou seja, . Vamos calcular isso derivando a integral:

Passo 4

Aplicando a derivada sob a integral, temos:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, usamos a equação de Schrödinger para e sua adjunta para :

Passo 6

Substituindo essas expressões na derivada da probabilidade:

Passo 7

Simplificando, obtemos:

Passo 8

Integrando por partes e assumindo que a função de onda e suas derivadas tendem a zero nos limites (ou são periódicas), obtemos:

Passo 9

Reconhecendo que a expressão dentro da avaliação nos limites é exatamente a corrente de probabilidade :
Então, temos:

Passo 10

Agora, para determinar as unidades de , vamos analisar cada parte da expressão:
  • tem unidades de para que tenha unidades de probabilidade por comprimento.
  • tem unidades de .
  • tem unidades de ou .
  • é a massa, com unidades de .
Juntando tudo na expressão de :
Portanto, as unidades de são comprimento por tempo, ou seja, metros por segundo (m/s).

Resposta

As unidades de são metros por segundo (m/s).

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