Seja a probabilidade de encontrar uma partícula no intervalo , no instante .
(a) Mostre que
onde
Quais são as unidades de ? Observação: é chamada de corrente de probabilidade, pois estabelece a taxa com que a probabilidade ‘flui’ através do ponto . aumenta, então mais probabilidade está fluindo para dentro da região em uma extremidade do que está fluindo para fora na outra.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar uma relação envolvendo a probabilidade de encontrar uma partícula em um certo intervalo de espaço ao longo do tempo. Estamos trabalhando com mecânica quântica, mais especificamente com o conceito de corrente de probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como a probabilidade muda no tempo e como essa mudança está relacionada à corrente de probabilidade .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de encontrar a partícula entre e no tempo é dada por:
Aqui, é a função de onda da partícula, e representa a densidade de probabilidade.
Passo 3
Queremos encontrar a derivada dessa probabilidade em relação ao tempo, ou seja, . Vamos calcular isso derivando a integral:
Passo 4
Aplicando a derivada sob a integral, temos:
Sabemos que , então:
Passo 5
Agora, usamos a equação de Schrödinger para e sua adjunta para :
Passo 6
Substituindo essas expressões na derivada da probabilidade:
Passo 7
Simplificando, obtemos:
Passo 8
Integrando por partes e assumindo que a função de onda e suas derivadas tendem a zero nos limites (ou são periódicas), obtemos:
Passo 9
Reconhecendo que a expressão dentro da avaliação nos limites é exatamente a corrente de probabilidade :
Então, temos:
Passo 10
Agora, para determinar as unidades de , vamos analisar cada parte da expressão:
tem unidades de para que tenha unidades de probabilidade por comprimento.
tem unidades de .
tem unidades de ou .
é a massa, com unidades de .
Juntando tudo na expressão de :
Portanto, as unidades de são comprimento por tempo, ou seja, metros por segundo (m/s).
Resposta
As unidades de são metros por segundo (m/s).
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo 1.Outros Problemas - Ex. Problema 1.14a