Um falcão voa em um arco horizontal de raio com velocidade constante de . (b) Ele continua a voar ao longo do mesmo arco horizontal, mas aumenta sua velocidade a uma taxa de . Encontre a aceleração (módulo e direção) nesta situação no momento em que a velocidade do falcão é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um falcão que está voando em um arco horizontal com raio de e velocidade constante de . Depois, ele começa a aumentar a velocidade a uma taxa de . Nosso objetivo é encontrar a aceleração total (modulo e direção) quando a velocidade do falcão for . Vamos usar conceitos de movimento circular e aceleração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando um objeto faz um movimento circular, mesmo mantendo a velocidade constante, ele está sempre mudando de direção, o que significa que está acelerando. Essa aceleração que aponta para o centro da trajetória é chamada de aceleração centrípeta.
A fórmula para a aceleração centrípeta ( ) é:
Onde:
  • é a velocidade do objeto,
  • é o raio da trajetória.

Passo 3

No primeiro cenário, o falcão está voando com velocidade constante, então só temos a aceleração centrípeta atuando. Vamos calcular essa aceleração:
Então, a aceleração centrípeta é e está direcionada para o centro do arco.

Passo 4

Agora, no segundo cenário, o falcão está aumentando sua velocidade a uma taxa de . Essa taxa de aumento é chamada de aceleração tangencial ( ), pois está na direção da velocidade do falcão, ou seja, ao longo da trajetória.
Então, temos duas acelerações atuando:
  • Aceleração centrípeta ( ): para o centro,
  • Aceleração tangencial ( ): na direção do movimento.

Passo 5

Para encontrar a aceleração total ( ) do falcão quando está acelerando, precisamos considerar ambas as componentes da aceleração: centrípeta e tangencial. Essas acelerações são perpendiculares entre si, então usamos o teorema de Pitágoras para calcular o módulo da aceleração total:

Passo 6

Agora, vamos determinar a direção da aceleração total em relaç��o à aceleração centrípeta. Podemos usar a tangente para encontrar o ângulo ( ):
Para encontrar o ângulo:
Isso significa que a aceleração total está inclinada acima da direção centrípeta, na direção do movimento.

Resposta

A aceleração total do falcão é de aproximadamente , direcionada a acima da direção centrípeta, na direção do movimento.

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