Uma plataforma giratória cilíndrica uniforme de
massa
gira no sentido anti-horário com uma velocidade angular de
. O rolamento fixo da plataforma é sem atrito. Um pedaço de argila de
de massa e tamanho desprezível é jogado sobre ela de uma pequena distância acima e imediatamente gruda nela em um ponto
a leste do eixo. O momento do sistema é constante neste processo? Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma plataforma giratória cilíndrica uniforme de 30,0 kg e raio de 1,90 m, girando no sentido anti-horário com uma velocidade angular de
. Sem atrito no rolamento. Um pedaço de argila de 2,25 kg é jogado sobre ela e gruda a 1,80 m do eixo. Queremos saber se o momento angular do sistema permanece constante nesse processo.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de momento angular e conservação do momento angular, que são parte da física rotacional. Precisaremos calcular os momentos de inércia antes e depois da argila ser adicionada e verificar se o momento angular se mantém.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento angular inicial da plataforma. O momento angular (
) é dado pela fórmula:
Onde:
-
é o momento de inércia -
é a velocidade angular
Para uma plataforma cilíndrica uniforme, o momento de inércia (
) é:
Onde:
-
(massa da plataforma) -
(raio da plataforma)
Passo 3
Calculando o momento de inércia da plataforma:
Passo 4
Agora, calculamos o momento angular inicial da plataforma:
Passo 5
Quando a argila de 2,25 kg é adicionada e gruda a 1,80 m do eixo, ela também contribui para o momento de inércia do sistema. O momento de inércia da argila (
) é dado por:
Passo 6
O momento de inércia total após a argila ser adicionada é:
Passo 7
Segundo a conservação do momento angular, se não há torque externo agindo no sistema, o momento angular total permanece constante. Portanto:
Ou seja:
Onde
é a nova velocidade angular após a argila ser adicionada.
Passo 8
Resolvendo para
:
Isso mostra que a velocidade angular diminui após a adição da argila, mas o momento angular total permanece o mesmo.
Resposta
Sim, o momento angular do sistema permanece constante durante o processo, devido à conservação do momento angular na ausência de torque externo.