4.4 A probabilidade de um sistema no conjunto grand canônico ter exatamente N partículas é dada por
p(N)=\begin{gathered} z N Q N(V, T) \\ \mathrm{Q}(z, V, T) \end{gathered} .
Verifique esta declaração e mostre que, no caso de um gás clássico e ideal, a distribuição de partículas entre os membros de um conjunto grandioso canônico é identicamente uma distribuição de Poisson. Calcular o valor da raiz quadrada média quadrada de ( N ) para este sistema, tanto da fórmula geral (4.5.3) quanto da a distribuição de Poisson e mostra que os dois resultados são os mesmos.

Passo 1

O enunciado afirma que, no ensemble grand canônico, a probabilidade de o sistema ter exatamente N partículas é
p(N)=\frac{z^N\,Q_N(V,T)}{\mathrm{Q}(z,V,T)}.
Aqui o conteúdo é o ensemble grand canônico; vamos verificar essa fórmula e aplicá-la ao caso de um gás ideal clássico.

Passo 2

Para um gás clássico ideal de N partículas em volume V e temperatura T, a partição canônica é
Q_N(V,T)=\frac{1}{N!}\Bigl(\frac{V}{\lambda^3}\Bigr)^N,
onde \lambda=\bigl(h^2/2\pi m kT\bigr)^{1/2} é o comprimento de onda térmico. Logo a partição grand canônica fica
\mathrm{Q}(z,V,T)=\sum_{N=0}^{\infty}z^N\,Q_N(V,T) =\sum_{N=0}^{\infty}\frac{1}{N!}\Bigl(z\frac{V}{\lambda^3}\Bigr)^N =\exp\!\Bigl(z\frac{V}{\lambda^3}\Bigr).

Passo 3

Substituindo em p(N), obtemos
p(N) =\frac{z^N\;\tfrac{1}{N!}(V/\lambda^3)^N}{\exp\!\bigl(zV/\lambda^3\bigr)} =\frac{\bigl(zV/\lambda^3\bigr)^N}{N!}\,e^{-\,zV/\lambda^3}.
Isto é exatamente a distribuição de Poisson com parâmetro
\bar N=\frac{zV}{\lambda^3}\,.

Passo 4

Para uma Poisson de parâmetro \bar N vale
\langle N\rangle=\bar N, \quad \langle(\Delta N)^2\rangle=\bar N,
logo a raiz-média-quadrática das flutuações é
\sqrt{\langle(\Delta N)^2\rangle} =\sqrt{\bar N} =\sqrt{\frac{zV}{\lambda^3}}.

Passo 5

Pela fórmula geral de flutuação no grand canônico (eq. 4.5. 3),
\langle(\Delta N)^2\rangle = z\,\frac{\partial\langle N\rangle}{\partial z}.
Como \langle N\rangle= zV/\lambda^3, segue
\langle(\Delta N)^2\rangle = z\,(V/\lambda^3) =\bar N,
e portanto
\sqrt{\langle(\Delta N)^2\rangle} =\sqrt{\bar N}
coincide com o resultado da distribuição de Poisson.

Resposta

A distribuição grand canônica do gás ideal clássico é
p(N)=\frac{\bar{N}^N}{N!}\,e^{-\bar{N}}, \quad \bar{N}=\frac{zV}{\lambda^3},
i.e. Poisson. Em ambos os métodos
\sqrt{\langle(\Delta N)^2\rangle} =\sqrt{\bar{N}} =\sqrt{\frac{zV}{\lambda^3}}.

Exercícios de Livros Relacionados