4.4 A probabilidade de um sistema no conjunto grand canônico ter exatamente
partículas é dada por
Verifique esta declaração e mostre que, no caso de um gás clássico e ideal, a distribuição de partículas entre os membros de um conjunto grandioso canônico é identicamente uma distribuição de Poisson. Calcular o valor da raiz quadrada média quadrada de (
) para este sistema, tanto da fórmula geral (4.5.3) quanto da a distribuição de Poisson e mostra que os dois resultados são os mesmos.
Passo 1
O enunciado afirma que, no ensemble grand canônico, a probabilidade de o sistema ter exatamente
partículas é
Aqui o conteúdo é o ensemble grand canônico; vamos verificar essa fórmula e aplicá-la ao caso de um gás ideal clássico.
Passo 2
Para um gás clássico ideal de
partículas em volume
e temperatura
, a partição canônica é
onde
é o comprimento de onda térmico. Logo a partição grand canônica fica
Passo 3
Substituindo em
, obtemos
Isto é exatamente a distribuição de Poisson com parâmetro
Passo 4
Para uma Poisson de parâmetro
vale
logo a raiz-média-quadrática das flutuações é
Passo 5
Pela fórmula geral de flutuação no grand canônico (eq.
.
),
Como
, segue
e portanto
coincide com o resultado da distribuição de Poisson.
Resposta
A distribuição grand canônica do gás ideal clássico é
i.e. Poisson. Em ambos os métodos