Um projétil é lançado do ponto , com velocidade em . (a) Faça uma tabela listando a distância do projétil da origem ao final de cada segundo seguinte, para . Tabular as coordenadas e e as componentes da velocidade e também será útil. (b) Note que a distância do projétil do seu ponto de partida aumenta com o tempo, atinge um máximo e começa a diminuir. Prove que a distância é máxima quando o vetor posição está perpendicular à velocidade. Sugestão: Argumente que se não é perpendicular a , então deve estar aumentando ou diminuindo. © Determine o módulo do deslocamento máximo. (d) Explique seu método de resolução para a parte ©.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um projétil lançado do ponto (0,0) com uma velocidade inicial de no tempo . A gente vai resolver várias partes:
a) Criar uma tabela com a distância do projétil da origem a cada segundo, de a s, incluindo as coordenadas e , e as componentes da velocidade e .
b) Mostrar que a distância máxima ocorre quando o vetor posição é perpendicular à velocidade.
c) Calcular o módulo do deslocamento máximo.
d) Explicar como fizemos a parte ©.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento do projétil. A velocidade inicial tem duas componentes: e . Considerando que não há aceleração na direção (visto que não há forças horizontais), a velocidade permanece constante. Já na direção , a única aceleração é a da gravidade, que vamos considerar como para baixo.

Passo 3

Vamos calcular as posições e a cada segundo:
  • Para : Como não há aceleração, .
  • Para : Aqui, usamos a fórmula .

Passo 4

As velocidades nas direções e também são importantes:
  • : Como não tem aceleração, sempre.
  • : Aqui, a velocidade muda devido à aceleração da gravidade: .

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância do projétil à origem em cada segundo. A distância é dada pela fórmula:

Passo 6

Vou montar a tabela de de 0 a 10 segundos com os valores de , , , e :
t (s) x(t) (m) y(t) (m) (m/s) (m/s) $ \vec{r} $ (m)
0 0 0 12 49 0
1 12 44,1 12 39,2
2 24 77,2 12 29,4
3 36 99,3 12 19,6
4 48 120,4 12 9,8
5 60 140,5 12 0
6 72 159,6 12 -9,8
7 84 177,7 12 -19,6
8 96 194,8 12 -29,4
9 108 210,9 12 -39,2
10 120 226,0 12 -49,0

Passo 7

Observando a tabela, vemos que a distância aumenta com o tempo até atingir um ponto máximo e depois começa a diminuir. Isso nos leva à próxima parte do exercício.

Passo 8

Queremos provar que a distância máxima ocorre quando o vetor posição está perpendicular à velocidade . Isso significa que o ângulo entre e é de 90 graus, ou seja, o produto escalar .
Se não for perpendicular a , então o projétil está se afastando ou se aproximando da origem, ou seja, está aumentando ou diminuindo.

Passo 9

Para encontrar o ponto de máxima distância, vamos igualar o produto escalar a zero:
Usando as expressões de , , e :
Substituindo:
Resolvendo essa equação para .

Passo 10

Vamos simplificar a equação:
Multiplicando os termos:
Simplificando:
Dividindo por (t ≠ 0):
Resolvendo a equação quadrática para .

Passo 11

Usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:
As soluções positivas são:
Optamos pelo valor s.

Passo 12

Agora, vamos calcular o módulo do deslocamento máximo usando s:
Então:

Resposta

O módulo do deslocamento máximo é aproximadamente .

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