Um projétil é lançado do ponto
, com velocidade
em
. (a) Faça uma tabela listando a distância do projétil
da origem ao final de cada segundo seguinte, para
. Tabular as coordenadas
e
e as componentes da velocidade
e
também será útil. (b) Note que a distância do projétil do seu ponto de partida aumenta com o tempo, atinge um máximo e começa a diminuir. Prove que a distância é máxima quando o vetor posição está perpendicular à velocidade. Sugestão: Argumente que se
não é perpendicular a
, então
deve estar aumentando ou diminuindo. © Determine o módulo do deslocamento máximo. (d) Explique seu método de resolução para a parte ©.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um projétil lançado do ponto (0,0) com uma velocidade inicial de
no tempo
. A gente vai resolver várias partes:
a) Criar uma tabela com a distância do projétil da origem a cada segundo, de a
s, incluindo as coordenadas
e
, e as componentes da velocidade
e
.
b) Mostrar que a distância máxima ocorre quando o vetor posição é perpendicular à velocidade.
c) Calcular o módulo do deslocamento máximo.
d) Explicar como fizemos a parte ©.
a) Criar uma tabela com a distância do projétil da origem a cada segundo, de
b) Mostrar que a distância máxima ocorre quando o vetor posição é perpendicular à velocidade.
c) Calcular o módulo do deslocamento máximo.
d) Explicar como fizemos a parte ©.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o movimento do projétil. A velocidade inicial tem duas componentes:
e
. Considerando que não há aceleração na direção
(visto que não há forças horizontais), a velocidade
permanece constante. Já na direção
, a única aceleração é a da gravidade, que vamos considerar como
para baixo.
Passo 3
Vamos calcular as posições
e
a cada segundo:
- Para
: Como não há aceleração, . - Para
: Aqui, usamos a fórmula .
Passo 4
As velocidades nas direções
e
também são importantes:
-
: Como não tem aceleração, sempre. -
: Aqui, a velocidade muda devido à aceleração da gravidade: .
Passo 5
Agora, vamos calcular a distância do projétil à origem em cada segundo. A distância
é dada pela fórmula:
Passo 6
Vou montar a tabela de
de 0 a 10 segundos com os valores de
,
,
,
e
:
t (s) | x(t) (m) | y(t) (m) |
|
|
$ | \vec{r} | $ (m) |
---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 12 | 49 | 0 | ||
1 | 12 | 44,1 | 12 | 39,2 |
|
||
2 | 24 | 77,2 | 12 | 29,4 |
|
||
3 | 36 | 99,3 | 12 | 19,6 |
|
||
4 | 48 | 120,4 | 12 | 9,8 |
|
||
5 | 60 | 140,5 | 12 | 0 |
|
||
6 | 72 | 159,6 | 12 | -9,8 |
|
||
7 | 84 | 177,7 | 12 | -19,6 |
|
||
8 | 96 | 194,8 | 12 | -29,4 |
|
||
9 | 108 | 210,9 | 12 | -39,2 |
|
||
10 | 120 | 226,0 | 12 | -49,0 |
|
Passo 7
Observando a tabela, vemos que a distância
aumenta com o tempo até atingir um ponto máximo e depois começa a diminuir. Isso nos leva à próxima parte do exercício.
Passo 8
Queremos provar que a distância máxima ocorre quando o vetor posição
está perpendicular à velocidade
. Isso significa que o ângulo entre
e
é de 90 graus, ou seja, o produto escalar
.
Se
não for perpendicular a
, então o projétil está se afastando ou se aproximando da origem, ou seja,
está aumentando ou diminuindo.
Passo 9
Para encontrar o ponto de máxima distância, vamos igualar o produto escalar a zero:
Usando as expressões de
,
,
e
:
Substituindo:
Resolvendo essa equação para
.
Passo 10
Vamos simplificar a equação:
Multiplicando os termos:
Simplificando:
Dividindo por
(t ≠ 0):
Resolvendo a equação quadrática para
.
Passo 11
Usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:
As soluções positivas são:
Optamos pelo valor
s.
Passo 12
Agora, vamos calcular o módulo do deslocamento máximo usando
s:
Então:
Resposta
O módulo do deslocamento máximo é aproximadamente
.