(b) A seção de passageiros de uma aeronave a jato tem formato de um tubo cilíndrico com comprimento de e raio interno de . Suas paredes são cobertas por material isolante com espessura de e condutividade térmica de . Um aquecedor deve manter a temperatura interior a enquanto a temperatura externa é . Que potência deve ser aplicada ao aquecedor?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma seção de passageiros de avião que parece um tubo cilíndrico. Esse tubo tem 35 metros de comprimento e um raio interno de 2,50 metros. As paredes desse tubo são isoladas com um material bem fino de 6 centímetros e que não deixa o calor passar facilmente. A ideia é manter o interior a 25°C enquanto o lado de fora está bem frio, a -35°C. Para isso, precisamos descobrir quanta potência o aquecedor precisa ter para manter essa temperatura constante.
Matéria envolvida: Transferência de calor por condução em cilindros.
O que vamos precisar: Fórmula da condução de calor em cilindros, entender as unidades envolvidas e fazer alguns cálculos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos deixar todas as unidades certinhas e no mesmo sistema. A condutividade térmica está em calorias por segundo, por centímetro e por grau Celsius (cal/(s·cm·°C)), então vamos converter tudo para centímetros para facilitar.
  • Comprimento (L): 35,0 metros = 3500 centímetros
  • Raio interno (ri): 2,50 metros = 250 centímetros
  • Espessura da parede: 6,00 centímetros
  • Raio externo (ro): ri + espessura = 250 cm + 6 cm = 256 centímetros
  • Diferença de temperatura (ΔT): 25,0°C - (-35,0°C) = 60°C

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula que usamos para calcular a transferência de calor por condução em um cilindro:
Onde:
  • é a potência que precisamos encontrar.
  • é a condutividade térmica.
  • é o comprimento do cilindro.
  • é a diferença de temperatura entre o interior e o exterior.
  • é o raio externo.
  • é o raio interno.
  • é o logaritmo natural.

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula:

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular o numerador:
  2. Calcular o denominador:
  3. Dividir o numerador pelo denominador:

Resposta

A potência que deve ser aplicada ao aquecedor é aproximadamente 2225 calorias por segundo (cal/s). Se preferir em watts, sabendo que , isso dá cerca de 9300 watts (9,3 kW).

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