Q|C S
Demonstre que a frequência f e o comprimento de onda lambda de uma partícula quântica com massa deslocando-se livremente se relacionam de acordo com a expressão
(fc)^2=1lambda^2+1lambdaC ^2

Passo 1

O enunciado fala de uma partícula quântica livre de massa m e pede para mostrar que sua frequência de onda f e seu comprimento de onda lambda satisfazem
l(fcr)^2 ;=;1lambda^2+1lambdaC^2
Para isso, vamos precisar das hipóteses de de Broglie (relação onda-partícula) e da relação relativística entre energia e momento.

Passo 2

Pela hipótese de Planck e de Broglie temos as representações de energia e momento em termos de frequência e comprimento de onda:
E = h,f
p = hlambda

Passo 3

A energia relativística de uma partícula de massa m e momento p é
E^2 ;=; p^2c^2 ;+; m^2c^4
Substituindo E = h f e p = h/lambda obtemos
(h,f)^2 ;=; l(hlambdar)^2c^2 ;+; m^2c^4
Agora dividimos toda a expressão por h^2c^2:
f^2c^2 ;=; 1lambda^2 ;+; m^2c^2h^2

Passo 4

Definindo o comprimento de onda de Compton como
lambdaC = hm,c,
temos
1lambdaC^2 ;=; m^2c^2h^2
Substituindo esse último resultado em tfracf^2c^2=tfrac1lambda^2+tfracm^2c^2h^2, obtemos exatamente
l(fcr)^2 = 1lambda^2 + 1lambdaC^2

Resposta

l(fcr)^2 ;=;1lambda^2+1lambdaC^2

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