1. S Demonstre que, para comprimentos de onda longos, a lei da radiação de Planck (Eq. 6.6) se reduz à lei de Ray-leigh-Jeans (Eq. 6.3).
  2. Revisão. Este problema é sobre o quanto estão vinculadas a radiação e a matéria, questão que originou a mecânica quântica. Para um modelo simples, considere uma esfera de ferro sólida de raio de 2,00 cm. Suponha que sua temperatura seja sempre uniforme em todo seu volume. (a) Determine a
    massa da esfera. (b) Suponha que a esfera esteja a 20,0 ^circ C e tenha emissividade de 0,860 . Calcule a potência com a qual a esfera irradia ondas eletromagnéticas. (c) Se a esfera fosse o único corpo no universo, qual seria a proporção da variação de sua temperatura? (d) Suponha que a lei de Wien descreva a esfera. Determine o comprimento de onda lambda máx á da radiação eletromagnética que a esfera emite com a maior intensidade. Apesar de emitir um espectro de ondas com todos os vários comprimentos de onda, suponha que sua potência de saída seja transmitida por fótons com comprimento de onda lambda máx á. Calcule (e) a energia de um fóton e (f) o número de fótons que a esfera emite a cada segundo.

Passo 1

O enunciado reúne dois tópicos de radiação térmica. No problema 14 queremos mostrar que, para comprimentos de onda longos, a lei de Planck \r
Blambda(T)=2hc^2lambda^51e^hc/(lambda kT)-1 \r
passa à lei de Rayleigh–Jeans \r
Blambda(T)approx2ckTlambda^4,
No problema 15 tratamos de uma esfera de ferro de raio ,2,00:cm a 20,0,^circC: (a) massa; (b) potência irradiada via lei de Stefan–Boltzmann; (c) taxa de variação relativa de temperatura se fosse só ela no universo; (d) comprimento de onda de pico pela lei de Wien; (e) energia de um fóton de lambdamax; (f) número de fótons por segundo.

Passo 2

Para comprimentos de onda longos temos
;xequivhclambda kTll1,,
então na lei de Planck expandimos o denominador em série:
e^x-1approx xLongrightarrow Blambda(T)approx2hc^2lambda^51x=2hc^2lambda^5lambda kThc=2ckTlambda^4,,
que é exatamente a lei de Rayleigh–Jeans.

Passo 3

(a) Usamos densidade do ferro rho=7,87times10^3:kg/m^3 e volume de esfera de raio r=0,02:m:
;V=43pi r^3=43pi(0,02)^3=3,35times10^-5:m^3,
;m=rho V=(7,87times10^3)(3,35times10^-5)=0,264:kg

Passo 4

(b) A potência irradiada é
;P=varepsilon,sigma,A,T^4,
com emissividade varepsilon=0,860, sigma=5,67times10^-8:W/m^2K^4, área ,A=4pi r^2=4pi(0,02)^2=5,03times10^-3:m^2 e T=20,0+273,15=293,15:K. Logo
P=0,860cdot5,67times10^-8cdot5,03times10^-3cdot(293,15)^4approx1,81:W

Passo 5

(c) Se fosse o único corpo no universo, só perderia energia por radiação. A taxa de variação de temperatura é
;dTdt=-Pm,c,
onde capprox450:J/(kgcdot K) é o calor específico do ferro. Assim
dTdt=-1,810,264cdot450approx-1,52times10^-2:K/s
A proporção relativa é
1TdTdtapprox-1,52times10^-2293,15approx-5,2times10^-5:s^-1

Passo 6

(d) Pela lei de Wien
;lambdamax=bT,
com b=2,898times10^-3:mcdot K e T=293,15:K, vem
lambdamax=2,898times10^-3293,15approx9,89times10^-6:m

Passo 7

(e) A energia de um fóton de comprimento de onda lambdamax é
E=h,clambdamax =6,626times10^-34cdot3,00times10^89,89times10^-6 approx2,01times10^-20:J

Passo 8

(f) O número de fótons emitidos por segundo é
N=PE =1,812,01times10^-20 approx9,0times10^19:s^-1

Resposta

(a) m=0,264:kg
(b) Papprox1,81:W
(c) dT/dtapprox-1,52times10^-2:K/s,;; (1/T),dT/dtapprox-5,2times10^-5:s^-1
(d) lambdamaxapprox9,89times10^-6:m
(e) Eapprox2,01times10^-20:J
(f) Napprox9,0times10^19:s^-1

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