- S Demonstre que, para comprimentos de onda longos, a lei da radiação de Planck (Eq. 6.6) se reduz à lei de Ray-leigh-Jeans (Eq. 6.3).
- Revisão. Este problema é sobre o quanto estão vinculadas a radiação e a matéria, questão que originou a mecânica quântica. Para um modelo simples, considere uma esfera de ferro sólida de raio de
. Suponha que sua temperatura seja sempre uniforme em todo seu volume. (a) Determine a
massa da esfera. (b) Suponha que a esfera esteja a
e tenha emissividade de 0,860 . Calcule a potência com a qual a esfera irradia ondas eletromagnéticas. (c) Se a esfera fosse o único corpo no universo, qual seria a proporção da variação de sua temperatura? (d) Suponha que a lei de Wien descreva a esfera. Determine o comprimento de onda
da radiação eletromagnética que a esfera emite com a maior intensidade. Apesar de emitir um espectro de ondas com todos os vários comprimentos de onda, suponha que sua potência de saída seja transmitida por fótons com comprimento de onda
. Calcule (e) a energia de um fóton e (f) o número de fótons que a esfera emite a cada segundo.
massa da esfera. (b) Suponha que a esfera esteja a
Passo 1
O enunciado reúne dois tópicos de radiação térmica. No problema 14 queremos mostrar que, para comprimentos de onda longos, a lei de Planck \r
passa à lei de Rayleigh–Jeans \r
No problema 15 tratamos de uma esfera de ferro de raio
a
: (a) massa; (b) potência irradiada via lei de Stefan–Boltzmann; (c) taxa de variação relativa de temperatura se fosse só ela no universo; (d) comprimento de onda de pico pela lei de Wien; (e) energia de um fóton de
; (f) número de fótons por segundo.
Passo 2
Para comprimentos de onda longos temos
então na lei de Planck expandimos o denominador em série:
que é exatamente a lei de Rayleigh–Jeans.
Passo 3
(a) Usamos densidade do ferro
e volume de esfera de raio
:
Passo 4
(b) A potência irradiada é
com emissividade
,
, área
e
. Logo
Passo 5
(c) Se fosse o único corpo no universo, só perderia energia por radiação. A taxa de variação de temperatura é
onde
é o calor específico do ferro. Assim
A proporção relativa é
Passo 6
(d) Pela lei de Wien
com
e
, vem
Passo 7
(e) A energia de um fóton de comprimento de onda
é
Passo 8
(f) O número de fótons emitidos por segundo é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)