1. Considere um corpo negro com área superficial de 20,0 cm^2 e temperatura de 5.000 K . (a) Qual é a potência irradiada pelo corpo? (b) Em qual comprimento de onda o corpo irradia com a maior intensidade? Calcule a potência espectral por intervalo de comprimento de onda (c) neste comprimento de onda e nos de (d) 1,00 nm (raio X ou gama), (e) 5,00 nm (luz ultravioleta ou raio X), (f) 400 nm (no limite entre a luz UV e a luz visível), (g) 700 nm (no limite entre a luz visível e a luz infravermelha), (h) 1,00 mm (luz infravermelha ou micro-onda) e (i) 10,0 cm (micro-onda ou onda de rádio). (j) Aproximadamente quanta potência o corpo irradia como luz visível?

Passo 1

O enunciado trata de um corpo negro (radiação de corpo negro) com área superficial A=20,0 cm^2 e temperatura T=5000 K. Vamos usar três leis fundamentais:
1) Lei de Stefan–Boltzmann para a potência total irradiada,
2) Lei de Wien para o comprimento de onda de pico,
3) Lei de Planck para a distribuição espectral e, a partir dela, obter a potência espectral por intervalo de comprimento de onda.

Passo 2

Para a potência total irradiada usamos a Lei de Stefan–Boltzmann
P = sigma,A,T^4,
onde sigma=5,6704times10^-8 W,m^-2,K^-4 e A=20,0 cm^2=2,00times10^-3 m^2.
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P =5,6704times10^-8times2,00times10^-3times(5000)^4 approx7,09times10^4 W

Passo 3

Para o comprimento de onda de máxima emissão usamos a Lei de Wien:
lambdamax = bT, b=2,898times10^-3 m,K
Logo
lambdamax=2,898times10^-35000 =5,796times10^-7 m approx580 nm

Passo 4

A distribuição espectral de potência por unidade de comprimento de onda (espectro de saída por área) é dada pela Lei de Planck:
Mlambda(T) =2pi h c^2lambda^5, 1exp!l(h clambda kTr)-1 l[W,m^-2,m^-1r]
A potência espectral para todo o corpo é
Plambda(T)=A,Mlambda(T)
Para facilitar a leitura, vamos apresentar Plambda em W por intervalo de 1,00 nm, isto é,
Plambda,nm =;A;Mlambda(T);/;10^9[W,per,nm]

Passo 5

(c) Em lambdamax=580 nm:
Calcula-se o argumento
x=h clambda kTapprox4,97,
o prefator 2pi hc^2/lambda^5approx5,72times10^15 W,m^-2,m^-1,
e
Mlambda(T)approx5,72times10^15e^4,97-1 approx3,99times10^13 W,m^-2,m^-1
Assim
Plambda,nm =2,00times10^-3times3,99times10^1310^9 approx79,8 W,/nm

Passo 6

(d) lambda=1,00 nm e (e) lambda=5,00 nm:
Para esses comprimentos de onda curtíssimos o expoente x=hc/(lambda kT) fica da ordem de 10^3 ou maior, de modo que
exp(x)gg1 e
Mlambdaapprox0.
Logo
Plambda,nmapprox0 W,/nm

Passo 7

(f) lambda=400 nm e (g) lambda=700 nm:
– Em 400 nm obtém-se
Mlambdaapprox2,75times10^13 W,m^-2,m^-1,
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Plambda,nm approx2,00times10^-3times2,75times10^1310^9 =55 W,/nm
– Em 700 nm
Mlambdaapprox3,70times10^13 W,m^-2,m^-1,
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Plambda,nm approx2,00times10^-3times3,70times10^1310^9 =74 W,/nm

Passo 8

(h) lambda=1,00 mm e (i) lambda=10,0 cm:
– Em 1,00 mm ( 1times 10^-3,m) encontra-se
Mlambdaapprox1,30times10^2 W,m^-2,m^-1,
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Plambda,nm =2,00times10^-3times1,30times10^210^9 approx2,6times10^-10 W,/nm
– Em 10,0 cm ( 0,10,m) obtemos
Mlambdaapprox1,30times10^-6 W,m^-2,m^-1,
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Plambda,nm approx2,00times10^-3times1,30times10^-610^9 =2,6times10^-18 W,/nm

Passo 9

(j) Potência irradiada como luz visível (aproximamos o intervalo 400 700 nm):
Estimando Mlambda em ~ 3,2times10^13 W,m^-2,m^-1 como valor médio,
De<alambda=300 nm=3,0times10^-7 m,
Pvisível =A,Mlambda,De<alambda approx2,00times10^-3times3,2times10^13times3,0times10^-7 approx1,9times10^4 W í

Resposta

(a) 7,09times10^4 W
(b) 580 nm
(c) 79,8 W,/nm em lambdamax
(d) approx0 W,/nm em 1,00 nm
(e) approx0 W,/nm em 5,00 nm
(f) 55 W,/nm em 400 nm
(g) 74 W,/nm em 700 nm
(h) 2,6times10^-10 W,/nm em 1,00 mm
(i) 2,6times10^-18 W,/nm em 10,0 cm
(j) 1,9times10^4 W emitidos como luz visível.

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