Q|C S Para uma partícula quântica de massa
no estado fundamental de um poço quadrado de comprimento
e paredes de altura infinita, a incerteza na posição é
. (a) Aplique o princípio da incerteza para determiná-la em seu momento linear. (b) Visto que a partícula permanece dentro da caixa, seu momento linear médio deve ser igual a zero. Portanto, seu momento linear médio elevado ao quadrado é
. Calcule a energia da partícula. (c) Compare o resultado da parte (b) com a energia real no estado fundamental.
Passo 1
O enunciado trata de uma partícula de massa
confinada num poço infinito de paredes verticais e comprimento
, no seu estado fundamental. Queremos usar o princípio da incerteza de Heisenberg, que relaciona a incerteza de posição
com a incerteza de momento
, para estimar (a)
, (b) a energia cinética
usando
, e (c) comparar esse valor aproximado com a energia exata do estado fundamental do poço.
Passo 2
O princípio da incerteza de Heisenberg diz que
Como a partícula está confinada no poço de tamanho
, podemos tomar
. Assim
Passo 3
O momento médio é zero,
, logo
. A energia cinética média é
Passo 4
O valor exato da energia do estado fundamental num poço infinito é
Comparando com a estimativa, temos
ou seja, a estimativa via incerteza subestima o valor exato por um fator
.
Resposta
(a)
(b)
(c) O valor exato é ; a estimativa do princípio da incerteza fica menor que
por um fator
.
(b)
(c) O valor exato é