Q|C S Para uma partícula quântica de massa m no estado fundamental de um poço quadrado de comprimento L e paredes de altura infinita, a incerteza na posição é De<a x approx L. (a) Aplique o princípio da incerteza para determiná-la em seu momento linear. (b) Visto que a partícula permanece dentro da caixa, seu momento linear médio deve ser igual a zero. Portanto, seu momento linear médio elevado ao quadrado é lang<= p^2rang<= approx(De<a p)^2. Calcule a energia da partícula. (c) Compare o resultado da parte (b) com a energia real no estado fundamental.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de massa m confinada num poço infinito de paredes verticais e comprimento L, no seu estado fundamental. Queremos usar o princípio da incerteza de Heisenberg, que relaciona a incerteza de posição De<a x com a incerteza de momento De<a p, para estimar (a) De<a p, (b) a energia cinética lang<= Erang<=approxlang<= p^2rang<=/(2m) usando lang<= p^2rang<=approx(De<a p)^2, e (c) comparar esse valor aproximado com a energia exata do estado fundamental do poço.

Passo 2

O princípio da incerteza de Heisenberg diz que
De<a x,De<a p >rsim hbar2
Como a partícula está confinada no poço de tamanho L, podemos tomar De<a xapprox L. Assim
De<a p approx hbar2,L

Passo 3

O momento médio é zero, lang<= prang<==0, logo lang<= p^2rang<=approx(De<a p)^2. A energia cinética média é
lang<= Erang<= ;=;lang<= p^2rang<=2m;approx;12ml(tfrachbar2Lr)^2 ;=;hbar^28,m,L^2

Passo 4

O valor exato da energia do estado fundamental num poço infinito é
E1 ;=;hbar^2,pi^22,m,L^2
Comparando com a estimativa, temos
lang<= Erang<=E1 =hbar^2/(8mL^2)hbar^2pi^2/(2mL^2) =14,pi^2,
ou seja, a estimativa via incerteza subestima o valor exato por um fator 4pi^2.

Resposta

(a) De<a papproxhbar2L
(b) lang<= Erang<=approxhbar^28,m,L^2
(c) O valor exato é E1=hbar^2pi^22,m,L^2; a estimativa do princípio da incerteza fica menor que E1 por um fator 4pi^2.

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