Q|C A seção visível do universo é uma esfera centrada na ponta do seu nariz, com raio de 13,7 bilhões de anos-luz. (a) Explique por que o universo visível está ficando maior, com seu raio aumentando em um ano-luz a cada ano. (b) Encontre a taxa na qual o volume da seção visível do universo está aumentando.

Passo 1

O enunciado diz que a região observável do universo é uma esfera de raio
R = 13,7times10^9 ly,
centrada em nós, e pede: (a) explicar por que esse raio cresce a 1 ly/ano; (b) achar a taxa de variação do volume. Vamos usar a ideia de horizonte de partículas (distância que a luz percorre desde o Big Bang) e a fórmula do volume de uma esfera.

Passo 2

O raio R da esfera observável corresponde à distância que a luz percorre desde t=0. Como a luz viaja à velocidade c, em que c=1 ly/ano, a medida que o tempo avança em 1 ano, o horizonte se afasta em 1 ly. Logo
dRdt=c=1 lyano

Passo 3

O volume de uma esfera de raio R é
V = 43pi R^3
Diferenciando em relação a t (usando regra da cadeia) obtemos
dVdt =ddtl(tfrac43pi R^3r) =4pi R^2,dRdt

Passo 4

Substituindo R=13,7times10^9 ly e tfracdRdt=1 ly/ano em
dVdt=4pi R^2,dRdt,
temos
dVdt =4pil(13,7times10^9r)^2times1 ly^3ano =4pi,(1,8769times10^20) ly^3ano approx2,36times10^21 ly^3ano

Resposta

(a) Porque o horizonte de partículas avança à velocidade da luz c=1 ly/ano, fazendo o raio crescer em 1 ly por ano.
(b)
dVdt =4pi R^2,dRdt approx2,36times10^21 ly^3ano

Exercícios de Livros Relacionados