Os raios cósmicos de energia mais alta são, na maior parte, prótons, acelerados por fontes desconhecidas. Seu espectro mostra um corte em uma energia na ordem de 10^20 eV. Acima dessa energia, um próton interage com um fóton de radiação cósmica de micro-ondas para produzir mésons, por exemplo, de acordo com p+gamma p+pi^0. Demonstre este fato ao seguir estes passos: (a) Encontre a energia mínima de fóton necessária para produzir essa reação no quadro de referência onde a quantidade de movimento total do sistema fóton-próton é zero. A reação foi observada experimentalmente nos anos 1950 com fótons de algumas centenas de MeV. (b) Utilize a lei de deslocamento de Wien para encontrar o comprimento de onda de um fóton no pico do espectro de corpo negro da radiação primordial de fundo de micro-ondas com uma temperatura de 2,73 K. (c) Encontre a energia desse fóton. (d) Considere a reação na parte (a) em um quadro móvel de referência de modo que o fóton seja o
mesmo que na parte (c). Calcule a energia do próton nesse quadro, que representa o de referência da Terra.

Passo 1

O enunciado trata da reação de limiar
p + gamma ;to; p + pi^0
em que prótons ultrarrelativísticos colidem com fótons da radiação cósmica de fundo (CMB). Precisamos: (a) achar a energia mínima do fóton no quadro de centro de massa (CM); (b) usar a lei de Wien para obter o comprimento de onda de pico da CMB a T=2,73 K; (c) converter esse comprimento de onda em energia de fóton; (d) usar invariantes de Mandelstam para encontrar a energia do próton na Terra quando o fóton tem essa energia de parte (c).

Passo 2

No CM, a condição de limiar é que os produtos saiam em repouso relativo, ou seja, a energia total inicial é
Erm tot^rm CM=mp + mpi,
Chamando de Egamma a energia do fóton no CM, o próton inicial tem energia raizmp^2+Egamma^2 (pois |vec p|=Egamma). Então
Egamma + raizmp^2 + Egamma^2 ;=; mp + mpi
Elevando ao quadrado e isolando Egamma
2,(mp + mpi),Egamma = (mp + mpi)^2 - mp^2 = mpi^2 + 2,mp,mpi,
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Egamma^rm CM = mpi^2 + 2,mp,mpi2,(mp + mpi)
Substituindo mp = 938 MeV e mpi = 135 MeV resulta em
Egamma^rm CMapprox 1,27times10^2 MeV

Passo 3

A lei de deslocamento de Wien em comprimento de onda é
lambdamax = bT,
com b=2,90times10^-3 mcdot K. Para T=2,73 K,
lambdamax = 2,90times10^-32,73 approx 1,06times10^-3 m

Passo 4

A energia de um fóton de comprimento de onda lambda é
Egamma = h,clambda
Usando h,c = 1,9878times10^-25 Jcdot m e lambda=1,06times10^-3 m,
Egamma = 1,9878times10^-251,06times10^-3 J approx 1,88times10^-22 J approx 1,17times10^-3 eV

Passo 5

No quadro da Terra (lab), consideramos colisão frontal com o fóton de energia Egamma^rm lab=1,17times10^-3 eV. Usando o invariante
s = mp^2 + 2,Ep,Egamma^rm lab,(1 - costheta),
com costheta=-1 (frontal), fica
s = mp^2 + 4,Ep,Egamma^rm lab
No limiar s=(mp+mpi)^2, então
4,Ep,Egamma^rm lab = (mp+mpi)^2 - mp^2 = mpi^2 + 2,mp,mpi,
Ep = mpi^2 + 2,mp,mpi4,Egamma^rm lab
Convertendo mpi^2 + 2mp mpiapprox2,71485times10^17 eV^2 e Egamma^rm lab=1,17times10^-3 eV, obtém-se
Epapprox 5,8times10^19 eV,
ou seja, da ordem de 10^20 eV.

Resposta

(a) Egamma^rm CMapprox1,27times10^2 MeV
(b) lambdamaxapprox1,06times10^-3 m
(c) Egamma^rm labapprox1,17times10^-3 eV
(d) Epapprox5,8times10^19 eV

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