Os raios cósmicos de energia mais alta são, na maior parte, prótons, acelerados por fontes desconhecidas. Seu espectro mostra um corte em uma energia na ordem de
. Acima dessa energia, um próton interage com um fóton de radiação cósmica de micro-ondas para produzir mésons, por exemplo, de acordo com
. Demonstre este fato ao seguir estes passos: (a) Encontre a energia mínima de fóton necessária para produzir essa reação no quadro de referência onde a quantidade de movimento total do sistema fóton-próton é zero. A reação foi observada experimentalmente nos anos 1950 com fótons de algumas centenas de MeV. (b) Utilize a lei de deslocamento de Wien para encontrar o comprimento de onda de um fóton no pico do espectro de corpo negro da radiação primordial de fundo de micro-ondas com uma temperatura de 2,73 K. (c) Encontre a energia desse fóton. (d) Considere a reação na parte (a) em um quadro móvel de referência de modo que o fóton seja o
mesmo que na parte (c). Calcule a energia do próton nesse quadro, que representa o de referência da Terra.
mesmo que na parte (c). Calcule a energia do próton nesse quadro, que representa o de referência da Terra.
Passo 1
O enunciado trata da reação de limiar
em que prótons ultrarrelativísticos colidem com fótons da radiação cósmica de fundo (CMB). Precisamos: (a) achar a energia mínima do fóton no quadro de centro de massa (CM); (b) usar a lei de Wien para obter o comprimento de onda de pico da CMB a
; (c) converter esse comprimento de onda em energia de fóton; (d) usar invariantes de Mandelstam para encontrar a energia do próton na Terra quando o fóton tem essa energia de parte (c).
Passo 2
No CM, a condição de limiar é que os produtos saiam em repouso relativo, ou seja, a energia total inicial é
Chamando de
a energia do fóton no CM, o próton inicial tem energia
(pois
). Então
Elevando ao quadrado e isolando
dá
logo
Substituindo
e
resulta em
Passo 3
A lei de deslocamento de Wien em comprimento de onda é
com
. Para
,
Passo 4
A energia de um fóton de comprimento de onda
é
Usando
e
,
Passo 5
No quadro da Terra (lab), consideramos colisão frontal com o fóton de energia
. Usando o invariante
com
(frontal), fica
No limiar
, então
Convertendo
e
, obtém-se
ou seja, da ordem de
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)