Um reservatório de água tem forma cúbica, de lado
massa
(incluindo a tampa). Então, quando o reservatório estiver totalmente vazio e começar a ser enchido de água (até uma altura
), seu centro de massa começa a baixar. Considerando que a água tem densidade
, determine a altura
do centro de massa e mostre que ela passará por um mínimo quando seu valor coincidir com a altura
da água.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um reservatório de água em forma de cubo, com lado de comprimento
e massa total
(incluindo a tampa). A ideia é determinar a altura do centro de massa (
) quando o reservatório está sendo enchido até uma altura
de água. A gente precisa usar conceitos de centro de massa e densidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o centro de massa. O centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do objeto está concentrada para efeitos de análise de movimentos. No nosso caso, temos duas partes: o reservatório vazio e a água que está sendo adicionada.
A massa do reservatório vazio é
. Quando adicionamos água até uma altura
, a massa dessa água (
) é dada pela densidade da água (
) multiplicada pelo volume de água. Como o reservatório é cúbico, o volume de água é
. Então:
Agora, a massa total do sistema (reservatório + água) é:
Passo 3
Para encontrar a altura do centro de massa (
), usamos a fórmula:
Onde:
-
é a altura do centro de massa do reservatório vazio. Como é um cubo, ele está na metade da altura, ou seja, . -
é a altura do centro de massa da água. Como a água está distribuída uniformemente até a altura , o centro de massa está na metade dessa altura: .
Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
para encontrar quando ele atinge um mínimo. A derivada nos ajuda a encontrar pontos onde a inclinação da função é zero, ou seja, possíveis mínimos ou máximos.
Derivando a função
em relação a
e igualando a zero:
Após fazer os cálculos (que envolvem aplicação da regra do quociente), encontramos que o mínimo ocorre quando:
Isso significa que a altura do centro de massa atinge o menor valor possível exatamente quando coincide com a altura
da água.
Resposta
A altura do centro de massa
do sistema é dada por:
E o centro de massa atinge seu valor mínimo quando
.