Um reservatório de água tem forma cúbica, de lado massa (incluindo a tampa). Então, quando o reservatório estiver totalmente vazio e começar a ser enchido de água (até uma altura ), seu centro de massa começa a baixar. Considerando que a água tem densidade , determine a altura do centro de massa e mostre que ela passará por um mínimo quando seu valor coincidir com a altura da água.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um reservatório de água em forma de cubo, com lado de comprimento e massa total (incluindo a tampa). A ideia é determinar a altura do centro de massa ( ) quando o reservatório está sendo enchido até uma altura de água. A gente precisa usar conceitos de centro de massa e densidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o centro de massa. O centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do objeto está concentrada para efeitos de análise de movimentos. No nosso caso, temos duas partes: o reservatório vazio e a água que está sendo adicionada.
A massa do reservatório vazio é . Quando adicionamos água até uma altura , a massa dessa água ( á) é dada pela densidade da água ( ) multiplicada pelo volume de água. Como o reservatório é cúbico, o volume de água é . Então:
á
Agora, a massa total do sistema (reservatório + água) é:
á

Passo 3

Para encontrar a altura do centro de massa ( ), usamos a fórmula:
áá
Onde:
  • é a altura do centro de massa do reservatório vazio. Como é um cubo, ele está na metade da altura, ou seja, .
  • á é a altura do centro de massa da água. Como a água está distribuída uniformemente até a altura , o centro de massa está na metade dessa altura: á.
Substituindo na fórmula:
Simplificando:

Passo 4

Vamos derivar em relação a para encontrar quando ele atinge um mínimo. A derivada nos ajuda a encontrar pontos onde a inclinação da função é zero, ou seja, possíveis mínimos ou máximos.
Derivando a função em relação a e igualando a zero:
Após fazer os cálculos (que envolvem aplicação da regra do quociente), encontramos que o mínimo ocorre quando:
Isso significa que a altura do centro de massa atinge o menor valor possível exatamente quando coincide com a altura da água.

Resposta

A altura do centro de massa do sistema é dada por:
E o centro de massa atinge seu valor mínimo quando .

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