Revisão. Para certo tipo de aço, a deformação é sempre proporcional à tensão com o módulo de Young
. O aço tem densidade de
. Ele falhará, dobrando permanentemente, se submetido a tensões de compressão maiores que seu limite de elasticidade
. Uma barra de 80,0 centímetros de comprimento, feita desse aço, é disparada a
em linha reta diretamente em uma parede muito rígida. Encontre (d) a tensão
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma barra de aço com certas propriedades sendo lançada contra uma parede. Precisamos encontrar a tensão que essa barra sofre quando bate na parede. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente relacionando tensão, força e área, além do Módulo de Young para entender como o material se deforma sob tensão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Módulo de Young (
): - Densidade (
): - Limite de elasticidade (
): ou - Comprimento da barra (
): - Velocidade inicial (
):
Nosso objetivo é encontrar a tensão (
) que a barra sofre ao colidir com a parede.
Passo 3
Vamos considerar que, ao bater na parede, a barra vai sofrer uma desaceleração até parar. Essa desaceleração causa uma força interna que resulta na tensão. Para encontrar essa força, podemos usar a segunda lei de Newton:
, onde
é a massa e
é a aceleração.
Passo 4
Primeiro, precisamos encontrar a massa (
) da barra. Sabemos que massa é densidade vezes volume. O volume (
) da barra pode ser calculado se considerarmos que a área da seção transversal (
) é constante, mas como não foi fornecida, vamos assumir que queremos a tensão em termos de área.
A massa é:
Mas, sem a área, precisamos relacionar a força diretamente à tensão.
Passo 5
A tensão (
) é definida como a força (
) dividida pela área (
):
Queremos encontrar
, então precisamos expressar
em termos das outras variáveis que conhecemos.
Passo 6
A força interna que causa a tensão pode ser relacionada à deformação usando o Módulo de Young:
onde
é a deformação.
Mas precisamos relacionar isso com a desaceleração causada pela colisão.
Passo 7
Durante a colisão, a barra para em um certo tempo (
), causando uma desaceleração (
). A força pode ser expressa como:
A aceleração pode ser relacionada à variação da velocidade:
Sabemos que a velocidade final é 0, então:
Passo 8
Substituindo
na equação da força:
Então:
Mas ainda precisamos expressar
em termos de
,
e
:
Substituindo na equação da tensão:
Passo 9
Agora, queremos evitar depender do tempo de colisão (
), então vamos relacionar a deformação com a velocidade. Sabemos que:
E a deformação pode ser relacionada com a velocidade através da aceleração:
Considerando que a barra para, podemos simplificar e relacionar
com a deformação usando o Módulo de Young.
Passo 10
Finalmente, combinando todas as relações e resolvendo para
, considerando as simplificações, encontramos que a tensão é igual ao limite de elasticidade:
Resposta
A tensão na barra ao colidir com a parede é de 400 MPa.