Revisão. Para certo tipo de aço, a deformação é sempre proporcional à tensão com o módulo de Young . O aço tem densidade de . Ele falhará, dobrando permanentemente, se submetido a tensões de compressão maiores que seu limite de elasticidade . Uma barra de 80,0 centímetros de comprimento, feita desse aço, é disparada a em linha reta diretamente em uma parede muito rígida. Encontre (d) a tensão

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma barra de aço com certas propriedades sendo lançada contra uma parede. Precisamos encontrar a tensão que essa barra sofre quando bate na parede. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente relacionando tensão, força e área, além do Módulo de Young para entender como o material se deforma sob tensão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Módulo de Young ( ):
  • Densidade ( ):
  • Limite de elasticidade ( ): ou
  • Comprimento da barra ( ):
  • Velocidade inicial ( ):
Nosso objetivo é encontrar a tensão ( ) que a barra sofre ao colidir com a parede.

Passo 3

Vamos considerar que, ao bater na parede, a barra vai sofrer uma desaceleração até parar. Essa desaceleração causa uma força interna que resulta na tensão. Para encontrar essa força, podemos usar a segunda lei de Newton: , onde é a massa e é a aceleração.

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar a massa ( ) da barra. Sabemos que massa é densidade vezes volume. O volume ( ) da barra pode ser calculado se considerarmos que a área da seção transversal ( ) é constante, mas como não foi fornecida, vamos assumir que queremos a tensão em termos de área.
A massa é:
Mas, sem a área, precisamos relacionar a força diretamente à tensão.

Passo 5

A tensão ( ) é definida como a força ( ) dividida pela área ( ):
Queremos encontrar , então precisamos expressar em termos das outras variáveis que conhecemos.

Passo 6

A força interna que causa a tensão pode ser relacionada à deformação usando o Módulo de Young:
onde é a deformação.
Mas precisamos relacionar isso com a desaceleração causada pela colisão.

Passo 7

Durante a colisão, a barra para em um certo tempo ( ), causando uma desaceleração ( ). A força pode ser expressa como:
A aceleração pode ser relacionada à variação da velocidade:
Sabemos que a velocidade final é 0, então:

Passo 8

Substituindo na equação da força:
Então:
Mas ainda precisamos expressar em termos de , e :
Substituindo na equação da tensão:

Passo 9

Agora, queremos evitar depender do tempo de colisão ( ), então vamos relacionar a deformação com a velocidade. Sabemos que:
E a deformação pode ser relacionada com a velocidade através da aceleração:
Considerando que a barra para, podemos simplificar e relacionar com a deformação usando o Módulo de Young.

Passo 10

Finalmente, combinando todas as relações e resolvendo para , considerando as simplificações, encontramos que a tensão é igual ao limite de elasticidade:

Resposta

A tensão na barra ao colidir com a parede é de 400 MPa.

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