A velocidade do som no ar (em metros por segundo) depende da temperatura, de acordo com a expressão aproximada:
onde é a temperatura dada em Celsius. No ar seco, a temperatura diminui cerca de a cada aumento de 150 m de altitude. (a) Suponha que essa mudança seja constante até uma altitude de 9.000 m . Que intervalo de tempo é necessário para o som de um avião voando a 9.000 metros chegar ao chão em um dia em que a temperatura é de ?

Passo 1

Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma relação que mostra como a velocidade do som no ar depende da temperatura:
Onde é a temperatura em graus Celsius. Além disso, sabemos que, no ar seco, a temperatura diminui cerca de a cada aumento de 150 metros de altitude. A questão nos pergunta: qual o tempo necessário para o som de um avião voando a 9.000 metros de altitude chegar ao chão, em um dia com temperatura de .
Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Entender como a temperatura varia com a altitude: A cada 150 metros, a temperatura diminui .
  2. Calcular a velocidade do som em cada camada de altitude considerando a variação de temperatura.
  3. Integrar essas velocidades para encontrar o tempo total que o som leva para descer de 9.000 metros até o chão.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir como a temperatura varia com a altitude até 9.000 metros. Sabemos que a temperatura diminui a cada 150 metros. Então, para cada 150 metros de subida, a temperatura é:
Onde:
  • é a temperatura a uma altitude ,
  • é a temperatura ao nível do mar, que é .

Passo 3

Agora, vamos expressar a velocidade do som em função da altitude . Substituindo na fórmula da velocidade do som:
Simplificando:

Passo 4

Para encontrar o tempo que o som leva para descer de 9.000 metros até o chão, precisamos considerar que a velocidade do som varia com a altitude. Portanto, vamos considerar uma pequena camada de altitude e calcular o tempo que o som leva para atravessar essa camada.
A relação entre tempo e distância é:
Então, o tempo total será a integral de de até :

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Podemos fazer a substituição:
Então,
Os limites de integração mudam para:
  • Quando ,
  • Quando ,
Calculando para :
Agora, a integral se torna:
Calculando a razão dentro do logaritmo:
Então,
Sabemos que , então:

Resposta

O som do avião levará aproximadamente 27,7 segundos para chegar ao chão a partir de uma altitude de 9.000 metros, considerando as condições dadas.

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