A velocidade do som no ar (em metros por segundo) depende da temperatura, de acordo com a expressão aproximada:
onde
é a temperatura dada em Celsius. No ar seco, a temperatura diminui cerca de
a cada aumento de 150 m de altitude. (a) Suponha que essa mudança seja constante até uma altitude de 9.000 m . Que intervalo de tempo é necessário para o som de um avião voando a 9.000 metros chegar ao chão em um dia em que a temperatura é de
?
Passo 1
Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma relação que mostra como a velocidade do som no ar depende da temperatura:
Onde
é a temperatura em graus Celsius. Além disso, sabemos que, no ar seco, a temperatura diminui cerca de
a cada aumento de 150 metros de altitude. A questão nos pergunta: qual o tempo necessário para o som de um avião voando a 9.000 metros de altitude chegar ao chão, em um dia com temperatura de
.
Para resolver isso, vamos precisar:
- Entender como a temperatura varia com a altitude: A cada 150 metros, a temperatura diminui
. - Calcular a velocidade do som em cada camada de altitude considerando a variação de temperatura.
- Integrar essas velocidades para encontrar o tempo total que o som leva para descer de 9.000 metros até o chão.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir como a temperatura varia com a altitude até 9.000 metros. Sabemos que a temperatura diminui
a cada 150 metros. Então, para cada 150 metros de subida, a temperatura é:
Onde:
-
é a temperatura a uma altitude , -
é a temperatura ao nível do mar, que é .
Passo 3
Agora, vamos expressar a velocidade do som em função da altitude
. Substituindo
na fórmula da velocidade do som:
Simplificando:
Passo 4
Para encontrar o tempo que o som leva para descer de 9.000 metros até o chão, precisamos considerar que a velocidade do som varia com a altitude. Portanto, vamos considerar uma pequena camada de altitude
e calcular o tempo
que o som leva para atravessar essa camada.
A relação entre tempo e distância é:
Então, o tempo total
será a integral de
de
até
:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Podemos fazer a substituição:
Então,
Os limites de integração mudam para:
- Quando
, - Quando
,
Calculando
para
:
Agora, a integral se torna:
Calculando a razão dentro do logaritmo:
Então,
Sabemos que
, então:
Resposta
O som do avião levará aproximadamente 27,7 segundos para chegar ao chão a partir de uma altitude de 9.000 metros, considerando as condições dadas.